指数函数的图象与性质

所有指数函数共有的骨架

先看所有合法底数下都成立的性质。自变量 $x$ 可以取任意实数，所以指数函数的定义域是 $\mathbb R$。

实数指数幂 $a^x$ 始终为正，并能取遍所有正数。因此，函数实际能取到的所有值组成的集合，也就是值域，为 $(0,+\infty)$。

把 $x=0$ 代入，再用正数的零次幂等于 $1$，得到

所以，每一条指数函数图象都经过定点 $(0,1)$。

两种单调方向从哪里来

共同性质不能决定图象的上升方向。要判断 $x$ 增大时函数值怎样变化，任取实数 $x_1<x_2$，令 $d=x_2-x_1>0$。比较两个函数值的比：

这里把 $f(x_2)$ 和 $f(x_1)$ 分别写成对应的指数幂。因为 $a^{x_1}>0$，分母不为 $0$，可以使用同底数幂相除的性质：

相除后底数不变，指数相减。再用 $d=x_2-x_1$ 代换，得到

因此，函数值的大小比较化成了 $a^d$ 与 $1$ 的比较。分母 $f(x_1)$ 为正：比值大于 $1$，就有 $f(x_2)>f(x_1)$；比值小于 $1$，就有 $f(x_2)<f(x_1)$。

底数大于 $1$：单调递增

实数指数幂由有理数指数幂逐步确定。因此，当 $a>1$ 时，正指数幂仍有 $a^d>1$。两个函数值的比大于 $1$，所以 $f(x_2)>f(x_1)$。这对任意实数 $x_1<x_2$ 都成立，函数在 $\mathbb R$ 上单调递增。

底数在 $0$ 与 $1$ 之间：单调递减

当 $0<a<1$ 时，可以写成 $a=\frac1b$，其中 $b>1$。把底数写成倒数，再用负指数的意义：

因为 $b>1$ 且 $d>0$，所以 $b^d>1$，它的倒数满足 $0<\frac1{b^d}<1$。因此，两个函数值的比小于 $1$，就有 $f(x_2)<f(x_1)$。这对任意实数 $x_1<x_2$ 都成立，函数在 $\mathbb R$ 上单调递减。

把两类性质放在一起看

两类指数函数都经过 $(0,1)$，但变化方向相反。把单调方向与这个定点放在一起，就能对照 $x$ 在 $0$ 两侧时的函数值。

底数互为倒数时，两个图象还有对称关系。仍记 $f(x)=a^x$，取 $a>1$，把底数换成 $\frac1a$。由负指数的意义，得到

而 $a^{-x}$ 就是把 $-x$ 代入原函数 $f$ 后得到的函数值，所以

输入由 $x$ 换成 $-x$，相当于把原图象关于 $y$ 轴对称。这也解释了互为倒数的两个底数为什么具有相反的变化方向。

以底数 $2$ 和 $\frac12$ 为例，对照同样的坐标尺度：两条曲线都经过 $(0,1)$，点 $(1,2)$ 与 $(-1,2)$ 关于 $y$ 轴对称。

两幅图互为关于 $y$ 轴的对称图象。$2^x$ 向左越来越接近 $0$，$\left(\frac12\right)^x$ 向右越来越接近 $0$，但都不会到达 $x$ 轴。图中只画出一部分，曲线在画面边缘仍会继续延伸，定义域始终是 $\mathbb R$。

“指数增长”和“指数衰减”是什么意思

单调性说明变化方向。指数增长与指数衰减还说明：当自变量增加同样的量时，函数值总按同一个倍数变化。设步长 $h>0$，比较 $x+h$ 与 $x$ 对应的函数值：

把函数值写成指数幂后，使用同底数幂相除，指数相减：

指数中的 $x$ 相互抵消，只剩步长 $h$。所以，这个倍数只由步长 $h$ 和底数 $a$ 决定，与当前位置 $x$ 无关。

若 $a>1$，由于 $h>0$，倍数 $a^h$ 大于 $1$，表现为指数增长；若 $0<a<1$，倍数 $a^h$ 小于 $1$，表现为指数衰减。

用单调性比较同底数幂

知道了单调方向，就可以比较同底数的两个幂。同一合法底数下，只需比较指数：底数大于 $1$ 时，指数次序保持不变；底数在 $(0,1)$ 内时，指数次序反转。

例如，比较 $0.7^{-0.3}$ 与 $0.7^{0.2}$。它们的底数相同，且 $0<0.7<1$，所以函数 $y=0.7^x$ 单调递减。虽然指数满足 $-0.3<0.2$，函数值的次序却相反：

这里的不等号方向由底数 $0.7$ 所对应的递减性决定。若两个幂的底数不同，就不能直接套用同一个指数函数的单调性，必须另找共同的比较标准。