对数的概念

从指数等式定义对数

对数与指数描述的是同一个关系。先写出乘方的等式，再给其中要找的指数一个名称。

因此，指数式和对数式可以相互改写：

左边把 $x$ 放在指数位置，右边把同一个 $x$ 写成对数的值。$a$ 叫作对数的底数，$N$ 叫作真数；$\log_aN$ 的值，就是使 $a$ 的这个次幂等于 $N$ 的指数。

对应两种写法，留意三个量的位置与含义。

同一个指数关系中的三个量

量	在 $a^x=N$ 中	在 $\log_aN=x$ 中
$a$	乘方的底数	对数的底数
$x$	指数	对数的值
$N$	乘方的结果	真数

换成对数式后，底数、指数和结果都没有改变。对数式把要找的指数写了出来。

三个条件为什么不能省

要用对数表示一个确定的指数，就必须保证：给定真数后，这个指数存在，而且只有一个。

当 $a>0$ 且 $a\ne1$ 时，$y=a^x$ 在全体实数上有意义，值域为 $(0,+\infty)$，并且严格单调。值域说明每个正数 $N$ 都能取到，严格单调说明它只会对应一个指数。

要求 $a>0$，是因为当 $a\le0$ 时，实数指数幂不能对所有实数指数作统一定义。

要求 $a\ne1$，是因为 $1^x$ 始终等于 $1$。当 $N=1$ 时，所有实数指数都符合，指数不唯一；当 $N\ne1$ 时，又找不到符合的指数。因此，$1$ 不能作为对数的底数。

要求 $N>0$，是因为合法底数的任意实数次幂 $a^x$ 都大于 $0$，不可能等于 $0$ 或负数。

在两种写法之间来回转换

用一个负指数的例子，可以同时看清两种写法的对应关系，以及真数与对数值的区别。

$2$ 的 $-3$ 次幂等于 $\frac18$，写成指数式就是

按对数的定义，同一个关系可以写成

第二式读作“以 $2$ 为底，$\frac18$ 的对数是 $-3$”。底数仍是 $2$，真数是乘方的结果 $\frac18$，而对数值是指数 $-3$。这里真数为正，对数值却为负。

从对数式回到指数式，只需把 $-3$ 放回 $2$ 的指数位置。三个量没有改变，只是被询问的量换了位置。

两个可以直接得到的对数值

同样从指数等式出发，就能直接得到两个常用的对数值。以下都要求 $a>0$ 且 $a\ne1$。

这两个等式都是对数定义的直接结果。分别回到 $a^0=1$ 和 $a^1=a$，就能说明它们的理由，不需要另记一套规则。

常用对数与自然对数

有两个底数经常使用，因此各有一种简写。记号变了，对数表示指数的含义没有改变。

以 $10$ 为底的对数叫作常用对数，通常把 $\log_{10}N$ 简记为 $\lg N$：

它表示使 $10^x=N$ 成立的指数 $x$。

以无理数 $e=2.71828\ldots$ 为底的对数叫作自然对数，通常把 $\log_eN$ 简记为 $\ln N$：

它表示使 $e^x=N$ 成立的指数 $x$。这两种记号都仍要求真数 $N>0$。