直接写出计算规则
$$f(x)=x^2,\qquad x\in A.$$
把 $x$ 平方，就能算出 $f(x)$。条件 $x\in A$ 说明 $x$ 只能取集合 $A$ 中的数。
三种表示
三种表示，说的是同一个对应关系
表示方法不同，不一定是不同的函数。只要定义域相同，且定义域中的每个 $x$ 对应的函数值都相同，就是同一个函数。
设定义域为 $A=\{-2,-1,0,1,2\}$，把每个 $x$ 平方，就得到对应的函数值。下面用三种方法表示这个函数。
比较时看两件事：$x$ 能取的数是否都是集合 $A$ 中的五个数；每个 $x$ 对应的函数值是否相同。
逐项列出对应值
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
每一列上面是 $x$，下面是对应的 $f(x)$。例如，$x$ 取 $-2$ 或 $2$ 时，函数值都是 $4$。
把每组对应值放进坐标系
- 每个点的横坐标是 $x$，纵坐标是对应的函数值 $f(x)$。
- 五个点分别对应数表中的五列，也都符合解析式给出的计算结果。
- 定义域只有五个数，所以图象只有五个点，不能擅自连成连续曲线。
各自特点
选择表示法，要看希望看清什么
上面的三种方法表示同一个函数，但各有用处：解析式便于计算，数表便于查值，图象便于观察整体形状。
| 表示方法 | 更容易看清 | 需要留意 |
|---|---|---|
| 解析法 | 把对应规则写成式子，便于根据 $x$ 准确计算 $f(x)$。 | 不是每个函数都能用一个解析式表示。 |
| 列表法 | 直接列出若干组 $x$ 和对应的函数值，方便读取，尤其适合定义域只有有限个数的情形。 | 定义域有无限多个数时，有限数表通常只能记录其中一部分。 |
| 图象法 | 函数图象由所有点 $(x,f(x))$ 组成，能直观呈现函数的整体形状。 | 从图上读取的数值可能只是近似值，有些函数也难以画出完整图象。 |
需要时，可以把几种方法结合使用。表示同一个函数时，定义域必须相同，每个 $x$ 对应的函数值也必须相同。
分段函数
分段写规则，仍然只定义一个函数
有些函数按 $x$ 的取值范围分段写，会更方便。先把定义域分成几部分，再分别写出各部分使用的式子，就得到分段表示。
绝对值函数可以写成
$$
f(x)=|x|=
\begin{cases}
-x, & x<0,\\
x, & x\geqslant0.
\end{cases}
$$
这里把定义域 $\mathbb R$ 分成两部分：$x<0$ 时用 $-x$，$x\geqslant0$ 时用 $x$。先判断 $x$ 满足哪个条件，再用对应的式子计算。
$-3$ 小于 $0$，所以用 $-x$，得到 $f(-3)=-(-3)=3$。
$3$ 大于等于 $0$，所以用 $x$，得到 $f(3)=3$。
每个实数 $x$ 都恰好满足其中一个条件，因此都有唯一的函数值。两行合在一起，才说明了整个定义域上的每个 $x$ 对应什么值，所以这是一个函数，不是两个函数。
边界判断
到达分界点时，先看不等号
在分界点处，等号写在哪一段尤其重要。先检查 $x$ 满足哪个条件，再用对应的式子计算，不能凭式子的先后或计算方便来选。
例如
$$
g(x)=
\begin{cases}
2x+1, & x<1,\\
x^2, & x\geqslant1.
\end{cases}
$$
求 $g(1)$ 时，先把 $x=1$ 代入两条条件，判断应该用哪一行。
第一段：$x<1$
把 $x=1$ 代入条件，得到 $1<1$，不成立，所以不能使用 $2x+1$。误用这一行会算成 $2\times1+1=3$，但 $3$ 不是 $g(1)$。
第二段：$x\geqslant1$
把 $x=1$ 代入条件，得到 $1\geqslant1$，成立，所以使用 $x^2$，得到 $g(1)=1^2=1$。
分段表示通常让各段条件覆盖整个定义域，而且互不重叠。这样，定义域中的每个 $x$ 都恰好满足一段的条件。
更根本的要求是：定义域中的每个 $x$ 都必须有唯一的函数值。
如果定义域中的某个 $x$ 不满足任何一段的条件，就没有对应的函数值。
如果某个 $x$ 同时满足两段的条件，而两段算出的值不同，这个 $x$ 就没有唯一确定的函数值，因而不构成函数。
如果重叠处算出的值相同，函数值仍然唯一，不会因此破坏函数的要求，但重复的条件没有必要。
核心结论
表示可以改变，对应关系必须保持完整
判断不同表示是否是同一个函数，要看定义域是否相同，每个 $x$ 对应的函数值是否相同，不能只看式子或图象是否相似。
解析法便于按规则计算，列表法便于读取对应值，图象法便于观察整体形状。需要时可以结合使用。
分段函数的各段合起来是一个函数。求值时，先看 $x$ 满足哪一段的条件，再用那一段的式子计算唯一的函数值。