定义域 $A$
自变量 $x$ 可以取的所有数组成的集合，就是定义域。
定义边界
函数的定义：每个输入都有唯一输出
先规定 $x$ 和 $y$ 的取值范围，再检查：每个允许的 $x$，是否都恰好对应一个 $y$。
设 $A$、$B$ 是非空实数集。如果有一个确定的对应关系 $f$，使集合 $A$ 中的每一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 与它对应，那么称 $f:A\to B$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数，记作
$$y=f(x),\qquad x\in A.$$
“每一个”要求定义域中的每个 $x$ 都有对应的 $y$；“唯一确定”要求这个 $y$ 只能有一个。不同的 $x$ 可以对应同一个 $y$。
下面用 $f(x)=x^2$ 说明：把集合 $A$ 中的数逐个代入，看看能得到集合 $B$ 中的哪些数。
集合 $A$：输入
$-2$
$0$
$2$
对应关系 $f(x)=x^2$
- $-2$$4$
- $0$$0$
- $2$$4$
集合 $B$：候选输出
$0$函数值
$4$函数值
$9$未取到
若规定 $x\geqslant0$、$y\in\mathbb R$，对应关系为 $y^2=x$，当 $x=1$ 时，$y=1$ 和 $y=-1$ 都符合这个关系。同一个 $x$ 对应两个不同的 $y$，所以这不是从 $x$ 到 $y$ 的函数。
改成 $y=\sqrt{x}$ 后，只取算术平方根。每个 $x\geqslant0$ 都对应唯一确定的 $y$，因此构成函数。
三个对象
定义域、函数值和值域
在 $y=f(x)$ 中，$x$ 叫作自变量。围绕它的取值和对应结果，可以分清三个概念。
函数值 $f(x_0)$
选定一个 $x_0\in A$，它对应的唯一结果就是函数值 $f(x_0)$。
值域 $C$
当 $x$ 取遍定义域 $A$ 时，所有实际得到的函数值组成值域。
若把值域记作 $C$，可以写成
$$C=\{f(x)\mid x\in A\}.$$
值域就是函数实际能取到的所有值组成的集合。集合 $B$ 中取不到的数，不属于值域。
实际定义域
从解析式确定实际定义域
如果只给出解析式，没有规定定义域，通常就把所有能使式子有意义的实数作为定义域。
以函数
$$f(x)=\sqrt{x+1}$$
为例，根号内的数必须大于或等于 $0$，所以 $x+1\geqslant0$，即 $x\geqslant-1$。这就是 $x$ 的取值范围。
对于每个这样的 $x$，算术平方根都有唯一确定的值，而且不会小于 $0$。
要确定值域，还要说明：每个非负数都能成为函数值。任取 $y\geqslant0$，令 $x=y^2-1$。因为 $y^2\geqslant0$，所以 $x\geqslant-1$，这个 $x$ 在定义域内。
把这个 $x$ 代回函数：
$$f(x)=\sqrt{x+1}=\sqrt{y^2}=y.$$
代入后，$x+1=y^2$；又因为 $y\geqslant0$，所以 $\sqrt{y^2}=y$。这说明每个非负数都能取到。
函数取不到负数，又能取到每个非负数，所以值域就是所有非负实数组成的集合。定义域和值域分别是
$$
\begin{aligned}
A&=\{x\in\mathbb R\mid x\geqslant-1\},\\
C&=\{y\in\mathbb R\mid y\geqslant0\}.
\end{aligned}
$$
如果 $x$ 表示实际数量，还要看它在问题中能取哪些值。例如，件数只能取非负整数；时间要符合题目给定的时段，长度也要符合实际范围。有些数虽然能让式子有意义，在实际问题中却不能取。
同一函数
判断两个表示是不是同一个函数
判断两个写法是不是同一个函数，检查两件事：定义域是否相同；对定义域中的每一个 $x$，两个写法给出的值是否相同。两项都相同，才是同一个函数。
表示相同的函数
$f(x)=\sqrt{x+1},\quad x\geqslant-1$
$g(t)=\sqrt{t+1},\quad t\geqslant-1$
两者只是把自变量的字母从 $x$ 换成了 $t$。定义域相同，每个相同的自变量取值也都得到相同的结果，所以是同一个函数。
解析式相同仍可能不同
$f(x)=\sqrt{x+1},\quad x\geqslant-1$
$h(x)=\sqrt{x+1},\quad x\geqslant0$
两个解析式一样，但 $f$ 允许 $x\geqslant-1$，$h$ 只允许 $x\geqslant0$。定义域不同，所以不是同一个函数。
即使定义域相同，只要其中有一个 $x$ 对应的函数值不同，也不是同一个函数。若定义域和每个 $x$ 对应的值都相同，所有能取到的函数值自然也相同，因此不必再单独比较值域。
核心结论
先定输入范围，再看对应结果
判断是不是函数：先明确 $x$ 的取值范围，再检查其中每个 $x$ 是否都恰好对应一个 $y$。
定义域是 $x$ 可以取的所有数组成的集合；函数值是某个 $x$ 对应的结果；值域是所有函数值组成的集合。
判断两个函数是否相同：定义域相同，并且每个相同的自变量取值都得到相同的函数值，两项缺一不可。