$n$ 次方根与分数指数幂

从乘方反过来看 $n$ 次方根

已知一个数的 $n$ 次方，怎样反过来找这个数？$n$ 次方根就是对这个问题的回答。

判断 $x$ 是否为 $a$ 的 $n$ 次方根，就检查 $x^n$ 是否等于 $a$。实数范围内有几个根，取决于 $n$ 的奇偶性和 $a$ 的符号。

当 $n$ 为奇数时，$x^n$ 随 $x$ 增大而严格增大，并且保留 $x$ 的正负号。因此，每个实数 $a$ 都有且只有一个 $n$ 次方根，记作 $\sqrt[n]{a}$。$a$ 为正时根为正，$a$ 为负时根为负，$a=0$ 时根为 $0$。

当 $n$ 为偶数时，$x^n$ 不会是负数，而且 $x$ 与 $-x$ 的 $n$ 次方相等。因此，正数有两个互为相反数的实根，$0$ 只有一个根，负数没有实根。

把 $a$ 的三种情况并排比较，就能看清奇数次方根与偶数次方根的数量区别。

方程 $x^n=a$ 的实根（$n>1$，$n$ 为整数）

$a$ 的条件	$n$ 为奇数	$n$ 为偶数
$a>0$	$\sqrt[n]{a}$一个正根	$\pm\sqrt[n]{a}$两个根，互为相反数
$a=0$	$0$只有一个根	$0$只有一个根
$a<0$	$\sqrt[n]{a}$一个负根	没有实根

表中列的是方程的所有实根。根式 $\sqrt[n]{a}$ 本身表示一个数，不能把它与方程的两个根混在一起。

根号不一定还原原来的符号

把一个实数 $a$ 先取 $n$ 次方，再开 $n$ 次方，并不总能得到原来的 $a$。关键仍是 $n$ 的奇偶性。

奇数次幂保留符号，开奇数次方就能还原原数：

偶数次幂会失去原数的正负信息，根号表示的又是非负根，所以得到的是 $a$ 的绝对值：

例如，先算 $-3$ 的平方，得到

再开平方。$\sqrt{9}$ 表示非负的平方根，因此 $\sqrt{9}=3$。把这两步连起来：

结果是 $3$，不能写成 $-3$。绝对值保留了“结果必须非负”这个条件。

用根式定义正分数指数幂

有了根式，就可以把“开方”和“乘方”写进同一个指数。分母说明开几次方，分子说明取几次方。

$\sqrt[n]{a^m}$ 是先取 $m$ 次方，再开 $n$ 次方；$(\sqrt[n]{a})^m$ 是先开 $n$ 次方，再取 $m$ 次方。两者相等，是因为它们都是正数，各自的 $n$ 次方都等于 $a^m$，而一个正数的正 $n$ 次方根只有一个。

若指数前有负号，就沿用负整数指数“取倒数”的意义：

第一个等号把负指数改写为正指数幂的倒数；第二个等号按刚才的定义，把分母中的分数指数幂写成根式。这里仍要求 $a>0$，这样根式有意义，分母也不会为 $0$。

顺着指数的结构计算

以 $16^{-\frac34}$ 为例。底数 $16>0$，指数中的 $\frac34$ 已是最简分数，可以按定义计算。

先根据负指数取倒数：

把分母 $4$ 读作“四次方根”，把分子 $3$ 读作“三次方”，将分数指数幂改写成根式：

因为 $2^4=16$，且四次方根的根号取正根，所以 $\sqrt[4]{16}=2$：

最后算出 $2^3=8$，得到

回看指数 $-\frac34$，三个部分分别对应刚才的三种运算。

取倒数、开方、乘方依次对应指数中的负号、分母和分子，所以 $16^{-\frac34}=\frac18$。

使用前先检查边界

运算步骤确定后，还要检查式子有没有意义。根式与分数指数幂，各有需要先确认的条件。

看到 $\sqrt[n]{a}$，先检查根指数的奇偶性和被开方数的符号。看到 $a^{m/n}$，先把指数约成最简分数，再看底数：$a>0$ 时可以直接使用分数指数的定义；底数为 $0$ 时，只能使用单独规定的正分数指数幂。