用函数表示实际数量关系

先分清变量和不变量

设一个水箱开始时有 $30\ \text{L}$ 水，以 $12\ \text{L/min}$ 的稳定流量注水，水箱最多容纳 $150\ \text{L}$。注水过程到水箱装满时结束。

这个过程中，注水时间和水量都会变化；初始水量、注水流量和水箱容量保持不变。先把这些量分清：

变化的量

注水时间 $t$，单位是 min；时刻 $t$ 的水量 $V$，单位是 L。

固定的条件

初始水量 $30\ \text{L}$，稳定流量 $12\ \text{L/min}$，容量 $150\ \text{L}$。

在这些固定条件下，$t$ 一旦确定，水量 $V$ 也唯一确定，所以可以把 $V$ 看成 $t$ 的函数。这里选择时间作为自变量，是因为水量随着时间推进而变化。

从数量关系得到对应规则

分清各个量以后，再把“原有的水量加上增加的水量”写成式子。

注水 $t$ 分钟后，增加的水量等于流量乘时间，即 $12t\ \text{L}$。加上原有的 $30\ \text{L}$，得到

式子中的 $30$ 表示初始水量，$12t$ 表示经过 $t$ 分钟增加的水量。两部分相加，就是时刻 $t$ 的水量。

单位也能帮助检查数量关系。流量的单位是 L/min，乘上时间的单位 min，得到

相乘后得到升，与水量 $V$ 的单位一致。原有水量和增加的水量单位相同，可以相加。

实际定义域来自情境限制

解析式 $30+12t$ 中，任意实数都能代入，但不是每个数都能表示这个过程中的注水时间。

注水时间不能为负，水量也不能超过容量。这两个条件要同时满足：

第二个不等式表示水量尚未超过水箱容量。先在两边同时减去初始水量 $30$，不等号方向不变，得到

再在两边同时除以正数 $12$，不等号方向仍不变，得到

结合时间不能为负的条件 $t\ge0$，这个实际问题中的定义域是

定义域要同时符合解析式的计算要求和实际条件，不能只看解析式。本例中，$t=0$ 表示开始注水，$t=10$ 时水箱刚好装满，过程结束。

图中的线段只画从开始注水到刚好装满的过程。注意它的两个端点：它们都属于这个实际函数的图象。

函数值必须回到原问题解释

确定了允许的时间范围，再计算某个时刻的水量。例如，$6$ 在定义域内，可以把 $t=6$ 代入对应规则：

先算乘法，$12\times6=72$，得到新增水量；再加上原有的 $30$，得到 $102$。这也对应图中的点 $(6,102)$。

结果表示：注水 $6$ 分钟后，水箱中有 $102\ \text{L}$ 水。解释函数值时，输入、输出和单位都要一同说明。

一个完整关系要经过四次检查

用函数表示实际数量关系，可以按下面的顺序检查：

1. 变量和固定条件。哪些量在变化，哪些条件保持不变？
2. 输入和输出。哪个量作为输入，哪个量由它唯一确定？
3. 对应规则。实际叙述怎样写成数量关系和解析式？
4. 实际含义。定义域、函数值和单位是否符合原情境？

这里要准确表示的是一个已经明确的数量关系，不是在多种函数中挑选最合适的模型。