无理数指数幂与实数指数幂

用有理数逐步逼近无理数

以 $a^{\sqrt2}$ 为例，取 $a>0$。先用有限小数从两侧逐步逼近 $\sqrt2$，例如

有限小数都是有理数，因此 $a^{1.4142}$ 和 $a^{1.4143}$ 已经有意义。当 $a>1$ 时，这两个数给出一段可能的取值范围；近似值取得越精确，这段范围就越小。若 $0<a<1$，两端的大小次序会反过来，但也会趋向同一个确定的正数。

把两种底数下的大小关系并排写出，可以看清次序的区别：

两种情况下，取值范围的两端都由有理数指数幂给出。继续提高近似的精度，才能逐步确定中间的那个数。底数 $a=1$ 也允许，此时各个幂的值都是 $1$。

同样地，对任意无理数 $\alpha$，都用越来越精确的有理数近似它，并由相应的有理数指数幂确定 $a^\alpha$。这样，正底数 $a$ 的指数就从有理数扩展到了全体实数。

为什么统一要求底数为正

要让每一个实数指数都有一致的意义，底数必须取正数。负底数和零底数，都不能覆盖全部实数指数。

负数可以有奇数次实数方根，却没有偶数次实数方根。例如，$\sqrt[3]{-2}$ 有意义，而 $\sqrt{-2}$ 在实数范围内没有意义。因此，负底数无法沿着所有有理数指数继续扩展，也就不能建立适用于所有实数指数的统一规则。

底数 $0$ 也有范围限制：$0$ 的正指数幂可以定义，但 $0^0$ 不在这里定义，负指数还会要求除以 $0$。

零指数和负指数仍保持原意

底数取正数后，指数可以扩展到实数，零指数和负指数的规则仍然不变。对 $a>0$、$x\in\mathbb R$，有下面两个关系。

零指数仍保留原来的规定：

指数变号，对应把原来的幂取倒数：

这里的 $x$ 可以是任意实数。因为 $a^x>0$，分母不会为 $0$，所以取倒数的关系对实数指数仍然成立。

实数指数幂的运算性质

设 $a>0$，$b>0$，$r,s\in\mathbb R$。有理数指数幂的三条基本运算性质，对实数指数幂仍然成立。

同底数幂相乘

底数同为 $a$，相乘后底数不变，两个指数 $r$ 和 $s$ 相加。

幂再乘方

把 $a^r$ 再取 $s$ 次幂，两个指数相乘，得到指数 $rs$。

积的乘方

把积 $ab$ 取 $r$ 次幂，可以分别把两个因数取 $r$ 次幂，再相乘。右边的两个因数都保留指数 $r$。

这三条性质先在有理数指数下成立。实数指数幂的定义与有理数指数幂连续衔接，因此这些运算结构也保留下来。

由积的乘方得到商的乘方

仍取 $a>0$、$b>0$、$r\in\mathbb R$。把 $\frac ab$ 写成 $a\cdot b^{-1}$，就可以使用积的乘方：

将指数 $r$ 分配到两个因数，得到

再用幂的乘方，$(b^{-1})^r=b^{-r}$；用负指数规则，$b^{-r}=\frac1{b^r}$。于是

所以，商的乘方也可以分别作用于分子和分母：

条件 $b>0$ 保证 $b$ 和 $b^r$ 都不为 $0$，上面的除法才有意义。

运算前先确认条件

例如，计算 $2^{\sqrt2}\cdot2^{1-\sqrt2}$。底数 $2>0$，两个指数都是实数，可以使用同底数幂相乘的性质。

先保留底数 $2$，把两个指数相加：

指数中的 $\sqrt2$ 与 $-\sqrt2$ 互相抵消，合并后只剩 $1$：

最后回到整数指数幂，$2$ 的一次幂就是 $2$：

每一步都沿用已有的指数运算结构。若底数不是正数，就不能把这套实数指数幂规则直接套上去。