不同函数增长速度的比较

局部大小不能代表最终趋势

先比较 $y=2^x$ 和 $y=2x$。它们都随 $x$ 增大而增大，函数值的大小关系却会改变。

在 $x=0$ 时，指数函数的值较大；在 $1<x<2$ 时，一次函数的值反而较大；当 $x>2$ 时，指数函数又反超，并迅速拉开差距。

因此，一张范围有限的图或几个函数值，只能说明所观察范围内的大小关系，不能据此判断全部位置的大小次序。

相同的输入变化会带来什么

要理解增长差别，可以让自变量按同一种方式变化，再比较各函数值怎样改变。

先固定 $a>1$、$k>0$。当自变量都增加同一个正数 $h$（$h>0$）时，根据指数运算法则，

指数函数每次都按固定倍数 $a^h>1$ 放大。对一次函数，展开括号得到

一次函数每次只增加固定量 $kh$。随着这种变化不断重复，指数函数的增长最终会超过一次函数。

再固定 $b>1$、$c>0$，把正自变量 $x$ 放大为原来的 $q$ 倍，其中 $q>1$。根据对数的积运算法则，

对数函数只增加固定量 $\log_bq$。同样把 $x$ 放大为 $qx$，幂函数满足

幂函数按固定倍数 $q^c>1$ 放大，因此幂函数的增长最终会超过对数函数。

在同样的放大下，再比较指数函数的新值与原值。根据同底数幂相除的法则，

由于 $a>1$、$q>1$，这个放大倍数会随 $x$ 增大而不断增大；幂函数的放大倍数 $q^c$ 则固定不变。这揭示了指数函数最终超过幂函数的结构原因。

充分大时的增长层级

把这些增长方式放在一起比较，可以得到一个带有范围条件的结论。对固定的 $a>1$、$b>1$ 和 $c>0$，当 $x$ 充分大时，

也就是说，在最终趋势中，对数增长慢于任意正幂增长，任意正幂增长又慢于以大于 $1$ 为底的指数增长。

一次函数 $y=kx$（$k>0$）属于一次幂这一层。因此，在上述底数和系数 $k$ 固定、$x$ 充分大时，也有

这里的界限 $x_0$ 会随底数、指数和系数改变。即使 $a$ 很接近 $1$、$c$ 很大，指数函数也只是可能反超得更晚，最终层级并不改变。

怎样使用这个结论

使用增长层级前，先确认参数条件，再确认所比较的范围。

比较对象应属于这里的递增情形：指数函数和对数函数的底数都大于 $1$，幂指数和一次项系数都为正。

若问题问的是“当 $x$ 充分大时”或“最终趋势”，可以使用上述层级。若问某个具体区间或某个具体点，就必须计算函数值、研究交点或观察该区间，不能用最终趋势代替局部判断。