函数模型的选择与应用

从变化方式选择候选模型

选择函数之前，先说明变量和单位。记 $t$ 为从 1950 年末起经过的年数，$P(t)$ 为对应年末的人口总数，单位是万人。

已知 1950 年末人口为 $55196$ 万人，1959 年末人口为 $67207$ 万人。这两个年份分别对应 $t=0$ 和 $t=9$。

这段时间的逐年数据呈现平稳增长，散点没有明显突变，相邻年份的增长比例也大致接近。若假设单位时间内的相对增长速度在短期内近似稳定，就可以选取指数型候选模型：

其中，$A$ 是初始人口数，$r$ 描述平均相对增长速度。当 $t$ 以年为单位时，$r$ 是每年的增长参数。

用已知数据确定参数

选定指数型后，用两个已知年份的数据确定 $A$ 和 $r$。

当 $t=0$ 时，$e^{r\cdot0}=1$，所以 $P(0)=A=55196$。再将 1959 年末的 $t=9$、$P(9)=67207$ 代入模型，得到

两边同除以正数 $55196$，得到

两边都为正数，可以取自然对数。由 $\ln(e^{9r})=9r$，得到

再将两边除以 $9$，就确定了增长参数：

将 $A$ 和取近似值后的 $r$ 代回，得到描述 1950—1959 年数据的模型：

按该模型，每经过一年，人口数乘以的因子是 $e^r\approx1.02212$。下文的模型计算值均使用这里的 $r=0.021876$。

范围 $0\le t\le9$ 记录的是建模和校验所使用的时段。它并不表示这个公式在所有年份都会成立。

用中间数据检查模型

参数由 1950 年和 1959 年的数据确定，模型在这两个定参点吻合是定参过程的结果。要检查模型是否可用，还应看未参与定参的中间年份。

把 1951 年、1954 年、1958 年对应的 $t=1$、$t=4$、$t=8$ 代入模型，再与实际值比较：

三个年份的偏差大小分别为 $117$ 万人、$23$ 万人和 $241$ 万人，相对于当年的总人口都较小。若把全部年份画成散点图，这些点也会落在模型曲线附近。

这样的检验支持模型在已观测时段内是一个较好的近似，不能证明人口在此后的所有年份都按这个公式变化。

外推结果必须带上条件

如果假定上述增长条件一直不变，可以把模型延伸到 1990 年。1990 年对应 $t=40$，已经超出了前面检验的 $0\le t\le9$。

在“原增长条件继续成立”的假设下，将 $t=40$ 代入，得到

换算为亿人，这个结果约为 $13.24$ 亿人。但 1990 年的实际人口约为 $11.43$ 亿人，模型多估了约 $1.81$ 亿人。

这不是前面的代数计算自相矛盾，而是长期外推超出了校验时段，人口增长条件和增长速度也发生了变化。

一个模型完整包含什么

回看这个人口模型，建立公式只是完整过程中的一部分。

先定义变量、单位和实际范围，再根据数据、图象和变化机制选择候选函数。接着，用已知数据确定参数，用其他数据检验偏差。最后，解释结果的实际含义，并说明它在哪个范围内可信。