对数函数的概念

从一个对数值到一个函数

先固定底数 $a>0$ 且 $a\ne1$。要把正数 $x$ 对应到一个指数，就要说明：每个正数都能找到这样的指数，而且只能找到一个。

任取一个正数 $x$。指数函数 $a^y$ 能取到所有正数，所以至少有一个实数 $y$ 满足

又因为指数函数严格单调，不同的指数不会得到相同的结果，所以满足这个等式的实数 $y$ 只有一个。

这里 $a$ 是预先固定的底数，$x$ 是自变量，函数值 $y$ 是使 $a^y=x$ 成立的指数。底数保持不变，变化的是输入的正数和它对应的指数。

为什么定义域只能是正数

每个正数都能对应一个唯一的指数，但零和负数不行。合法底数的任意实数次幂都大于 $0$，因此等式 $a^y=x$ 只能在 $x>0$ 时成立。

所以，对数函数的定义域是所有正实数组成的集合：

当 $x=0$ 或 $x<0$ 时，不存在实数 $y$ 使 $a^y=x$。因此，$\log_a0$ 和负数的实对数都没有意义。

对数函数与指数函数交换了什么

回到定义，$\log_a x$ 就是使 $a^y=x$ 成立的指数。因此，在 $a>0$、$a\ne1$ 且 $x>0$ 时，两种写法表达同一件事：

指数函数 $y=a^x$ 把“指数”对应到“幂的结果”，对数函数 $y=\log_a x$ 则把这个正的结果对应回原来的指数。

例如，$2$ 的 $3$ 次幂等于 $8$，所以以 $2$ 为底，$8$ 的对数就是 $3$：

底数同为 $2$，比较这两个函数中 $3$ 和 $8$ 分别处在输入还是输出的位置。

同一底数下，输入与输出互换

函数	输入	输出
指数函数 $y=2^x$	$3$指数	$8$幂的结果
对数函数 $y=\log_2 x$	$8$幂的结果	$3$指数

指数函数把 $3$ 对应到 $8$，对数函数把 $8$ 对应回 $3$。这就是两者互为反函数的含义：同一底数下，它们的输入与输出互换。先看清这个对应关系，图象和具体性质将在后面研究。

两种常用的对数函数

底数取 $10$ 或 $e$ 时，对数函数有两种常用的简写。

当底数为 $10$ 时，函数 $y=\log_{10}x$ 记作

当底数为 $e$ 时，函数 $y=\log_e x$ 记作

这两种记号都保留了底数，只是省略了底数的下标写法。它们是底数不同的对数函数，定义域都仍是 $(0,+\infty)$。

先辨认基本形式，再确定定义域

基本对数函数中的底数必须是固定常数，真数就是自变量 $x$。例如，$y=\log_3 x$ 是对数函数，输入的 $x$ 必须大于 $0$。

而 $y=\log_3(4-x)$ 是由对数函数与一次式复合得到的函数。它的真数是整个 $4-x$，所以要使这个函数有意义，必须满足

这要求 $4$ 大于 $x$，也就是

因此，$y=\log_3(4-x)$ 的定义域为 $(-\infty,4)$。只要真数不是单独的 $x$，就不能直接照搬 $(0,+\infty)$；应先令整个真数大于 $0$。