函数的奇偶性

第一关是定义域关于原点对称

要比较 $f(-x)$ 和 $f(x)$，$x$ 与 $-x$ 就必须都在定义域中。设函数的定义域为 $D$，所谓 $D$ 关于原点对称，是指

也就是说，定义域中每个非零数的相反数也必须在定义域中。$0$ 若属于定义域，它的相反数仍是自己。

如果定义域不关于原点对称，就会有某个 $x\in D$，但 $-x\notin D$。这个 $x$ 有函数值，$-x$ 却没有，因而 $f(-x)$ 没有定义。

这样就不能对定义域内所有 $x$ 比较 $f(-x)$ 与 $f(x)$，所以这个函数既不是奇函数，也不是偶函数。

偶函数保持函数值不变

确认 $x$ 与 $-x$ 都能取到后，再比较 $f(-x)$ 和 $f(x)$。在定义域 $D$ 关于原点对称的前提下，如果对任意 $x\in D$，都有

那么 $f(x)$ 是偶函数。例如 $f(x)=x^2+1$ 的定义域是 $\mathbb R$。把解析式中的 $x$ 换成 $-x$，得到

$x$ 和 $-x$ 的平方相等，即 $(-x)^2=x^2$，所以

对任意实数 $x$，上面的计算都成立，所以 $f(x)=x^2+1$ 是偶函数。

若图象上有点 $(x,f(x))$，因为 $f(-x)=f(x)$，点 $(-x,f(x))$ 也在图象上。这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，因此关于 $y$ 轴对称。定义域内每个 $x$ 都满足这个等式，所以偶函数的整个图象关于 $y$ 轴对称。

反过来，若图象关于 $y$ 轴对称，$x$ 与 $-x$ 对应的点就有相同的纵坐标，也就是函数值相等。

在 $f(x)=x^2+1$ 的图象中，比较点 A 与点 B：横坐标互为相反数，纵坐标保持不变。

奇函数的函数值也变成相反数

若 $x$ 换成 $-x$ 时，函数值也变成相反数，就要比较 $f(-x)$ 和 $-f(x)$。在定义域 $D$ 关于原点对称的前提下，如果对任意 $x\in D$，都有

那么 $f(x)$ 是奇函数。例如 $g(x)=x^3-x$ 的定义域是 $\mathbb R$。把解析式中的 $x$ 换成 $-x$：

$-x$ 的三次方是 $-x^3$，减去 $-x$ 就是加上 $x$，所以

从 $-x^3+x$ 中提取负号，括号内就是原来的 $x^3-x$：

对任意实数 $x$，上面的计算都成立，所以 $g(x)=x^3-x$ 是奇函数。

若图象上有点 $(x,g(x))$，因为 $g(-x)=-g(x)$，点 $(-x,-g(x))$ 也在图象上。这两个点的横坐标、纵坐标都互为相反数，因此关于原点对称。定义域内每个 $x$ 都满足这个等式，所以奇函数的整个图象关于原点中心对称。

在 $g(x)=x^3-x$ 的图象中，点 A 与点 B 的横坐标、纵坐标都互为相反数。

反过来，若图象关于原点中心对称，对于图象上的任意一点 $(x,g(x))$，点 $(-x,-g(x))$ 也在图象上。

这说明 $-x\in D$，并且 $g(-x)=-g(x)$。对定义域内每个 $x$ 都是如此，定义域条件和函数值关系都满足，所以 $g$ 是奇函数。

不是偶函数，也不一定就是奇函数

定义域关于原点对称，只说明：$x$ 在定义域中时，$-x$ 也在其中。它并不保证 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 相等或互为相反数。

例如 $h(x)=x+1$，定义域为 $\mathbb R$，关于原点对称。把 $-x$ 代入得到 $h(-x)$；把 $h(x)$ 整体取相反数得到 $-h(x)$。比较这三个式子：

取 $x=1$，有 $h(-1)=0$、$h(1)=2$、$-h(1)=-2$。$0$ 不等于 $2$，也不等于 $-2$。

因此，$h(-x)=h(x)$ 与 $h(-x)=-h(x)$ 在 $x=1$ 时都不成立，不能对定义域内每个 $x$ 成立。这个函数既不是偶函数，也不是奇函数，可见“不是偶函数”并不等于“是奇函数”。

判断顺序比记结论更重要