底数 $x$
底数是自变量，表示输入。
标准形式
幂函数的标准形式
幂函数的结构是：自变量作底数，指数在整个函数中保持不变。
一般地，形如
$$y=x^\alpha$$
的函数叫作幂函数，其中 $x$ 是自变量，$\alpha$ 是常数。
这个形式同时规定了底数、指数和系数。把这三个位置分开看：
指数 $\alpha$
指数是常数，在整个函数中固定不变。
系数 $1$
$x^\alpha$ 前的系数是 $1$，通常省略不写。
判断时要同时看清这三个位置，不能只看式子中有没有幂。
字母可以改变，角色不变。例如，把输入记作 $t$，函数写成
$$v=t^{-1}.$$
这里 $t$ 是自变量，$-1$ 是固定指数，$v$ 是对应的函数值。它仍然是“输入的固定次幂”，也就是通常写成 $y=x^{-1}$ 的幂函数。
不同指数
指数不同，仍可以是幂函数
在同一个幂函数中，指数固定；换一个固定指数，可以得到另一个幂函数。下面五个函数都符合 $y=x^\alpha$ 的形式：
$y=x$，指数为 $1$
$y=x^2$，指数为 $2$
$y=x^3$，指数为 $3$
$y=x^{\frac12}$，指数为 $\frac12$
$y=x^{-1}$，指数为 $-1$
它们的图象和定义域并不相同，但“底数是自变量、指数是常数”的结构没有改变，幂前的系数也都是 $1$。
幂还可以写成其他形式。比较下面两组写法时，要连同等式成立的条件一起看：
倒数的写法
当 $x\ne0$ 时，负一次幂可以写成倒数：
$$x^{-1}=\dfrac1x.$$
在这个定义域内，$y=\dfrac1x$ 仍是指数为 $-1$ 的幂函数。
平方根的写法
当 $x\ge0$ 时，二分之一次幂可以写成算术平方根：
$$x^{\frac12}=\sqrt{x}.$$
在这个定义域内，$y=\sqrt{x}$ 仍是指数为 $\frac12$ 的幂函数。
这些改写只改变表达形式，没有改变对应关系。因此，要看式子在定义域内表达的函数关系，不能只凭它当前的外观判断。
概念边界
一般单项式不一定是幂函数
判断函数是否为幂函数，还要检查幂前的系数。例如函数
$$g(x)=2x^3$$
虽然是单项式，也含有 $x$ 的三次幂，却不符合 $y=x^\alpha$ 的标准形式，因为 $x^3$ 前的系数是 $2$，不是 $1$。
它可以看成幂函数 $x^3$ 的两倍，但 $g(x)$ 本身不能叫作幂函数。
还要分清底数与指数的位置。幂函数中，自变量在底数位置，指数固定。若底数固定，而自变量出现在指数位置，函数结构就不同了，不能再用幂函数的定义判断。
定义域
形式成立还要连同定义域理解
确认了 $y=x^\alpha$ 的形式，还要确定：这个幂在实数范围内何时有意义。
对于 $y=x^{-1}=\dfrac1x$，分母不能为 $0$，所以要排除 $x=0$。对于 $y=x^{\frac12}=\sqrt{x}$，根号内的数不能小于 $0$，所以要求 $x\ge0$。
定义域随指数改变。统一写成 $y=x^\alpha$，不意味着所有幂函数的定义域都是 $\mathbb R$。
识别幂函数，要看完整结构：底数是自变量，指数是常数，系数为 $1$，并在相应定义域内理解这个幂。
形式相似并不够，只有真正符合 $y=x^\alpha$ 的函数才是幂函数。