对数函数的图象与性质

所有对数函数共有的骨架

先看与底数大小无关的性质。对数的真数必须为正，也就是 $x>0$，所以定义域是 $(0,+\infty)$。

值域说明函数实际能取到哪些值。对任意实数 $y$，取 $x=a^y>0$，这个 $x$ 就在定义域内。根据对数定义，有

任意实数 $y$ 都能这样取到，因此函数值能取遍全体实数，值域是 $\mathbb R$。

再看图象经过哪里。因为 $a^0=1$，所以按对数定义可得

这说明所有对数函数的图象都经过定点 $(1,0)$。由于始终要求 $x>0$，图象全部位于 $y$ 轴右侧，不会与 $y$ 轴相交。

两种单调方向从哪里来

共同的定义域、值域和定点，并不能决定图象是上升还是下降。要判断单调性，可以把两个对数值还原成指数。

任取 $0<x_1<x_2$，把对应的两个函数值分别记为

根据对数定义，$a^{y_1}=x_1$、$a^{y_2}=x_2$。把这两个关系代入 $x_1<x_2$，得到

当 $a>1$ 时

指数函数 $a^y$ 递增，较小的函数值来自较小的指数。因此，由 $a^{y_1}<a^{y_2}$ 可知 $y_1<y_2$。这说明较小的真数对应较小的对数值，所以 $y=\log_ax$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。

当 $0<a<1$ 时

指数函数 $a^y$ 递减，较小的函数值反而来自较大的指数。因此，由 $a^{y_1}<a^{y_2}$ 可知 $y_1>y_2$。这说明较小的真数对应较大的对数值，所以 $y=\log_ax$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。

把图象特征放在一起看

有了定点 $(1,0)$ 和单调方向，就可以继续判断函数值的正负，以及图象在两端怎样变化。

符号规律来自定点 $(1,0)$ 和单调性。图象在 $x=1$ 时函数值为 $0$，再判断它在这一点左、右两侧是上升还是下降，就能确定函数值的正负。图象靠近 $y$ 轴时虽然会无限延伸，却始终只在 $x>0$ 的范围内。

两端的变化仍可回到 $x=a^y$ 理解。以 $a>1$ 为例，要让正数 $a^y$ 越来越接近 $0$，指数 $y$ 必须向负方向不断减小；要让 $a^y$ 不断增大，指数 $y$ 必须向正方向不断增大。

当 $0<a<1$ 时，指数函数的方向相反，因此表中的两端趋势也随之反转。

分别取底数 $2$ 和 $\frac12$，观察曲线经过 $(1,0)$ 后怎样变化，以及它在 $x$ 轴上方还是下方。

两幅图使用相同的坐标尺度。它们都经过 $(1,0)$，都不与 $y$ 轴相交，但单调方向和正负分布相反。图中只画出一段曲线；曲线仍会继续延伸，绘图边界不是定义域的端点。

用单调性比较同底数对数

图象的单调方向也决定了大小比较的方向。先确认两个对数的底数相同，且满足 $a>0$、$a\ne1$；真数还要满足 $M>0$、$N>0$。

当 $a>1$ 时，对数函数递增，真数较小，对数值也较小：

不等号方向保持不变。当 $0<a<1$ 时，对数函数递减，真数较小，对数值反而较大：

这时不等号方向发生反转。

比较 $\log_{0.3}1.8$ 与 $\log_{0.3}2.7$

两个真数都为正，且 $1.8<2.7$。它们的底数同为 $0.3$，位于 $(0,1)$ 内，因此对数函数递减，得到

较小的真数 $1.8$，对应的对数值反而较大。