同一个二次式的函数、方程与不等式

函数、方程与不等式的联系

设 $y=Q(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 为实数，$a\ne0$，$x\in\mathbb R$。$a\ne0$ 保证这是二次式；$a=0$ 时会降为一次式或常数式。

函数与方程

函数给出自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的对应关系。给定 $x$，就能算出 $y$；方程整理成 $Q(x)=0$ 后，就是已知函数值为 $0$，求对应的 $x$。

在图象上，$y=0$ 的点都在横轴上。因此，解方程 $Q(x)=0$，就是找图象与横轴交点的横坐标。

不等式

$Q(x)>0$ 要找函数值为正的 $x$，对应图象在横轴上方的部分；$Q(x)<0$ 则对应横轴下方的部分。若带等号，还要包含函数值为 $0$ 的那些 $x$。

用一个图象看清三者的联系

以 $y=x^2-4$ 为例。它是 $y=x^2$ 的图象向下平移 $4$ 个单位，开口向上，顶点为 $(0,-4)$，对称轴是 $x=0$。

给定 $x=3$，算得 $y=3^2-4=5$，所以点 $(3,5)$ 在图象上。现在反过来，令 $y=0$，就得到方程 $x^2-4=0$。因式分解后是

乘积为零，至少有一个因子为零，因此 $x=2$ 或 $x=-2$。这就是图象与横轴两个交点的横坐标。

若要求 $x^2-4<0$，就看函数值小于 $0$ 的情形。例如 $x=0$ 时 $y=-4<0$，对应横轴下方的点 $(0,-4)$。下面把这些点放到同一张图中。

图象也显示：$x$ 从左侧靠近 $0$ 时，函数值减小；越过 $0$ 后继续增大，函数值增大。因此它在 $(-\infty,0]$ 上严格递减，在 $[0,+\infty)$ 上严格递增，最小值为 $-4$。

用配方找出一般二次函数的顶点

对一般的二次函数，配方可以把顶点找出来。先从二次项和一次项中提出 $a$：

用一次项系数 $\frac{b}{a}$ 的一半配平方，加上的项再减回：

代回原式，将外面的 $a$ 乘进常数项：

常数项通分后，记 $h=-\frac{b}{2a}$、$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$，得到顶点式：

配方改变了写法，没有改变函数值。平方部分和常数部分分开后，顶点与图象的变化就更容易判断。

从顶点式读出图象性质

顶点、对称轴与平移

在 $Q(x)=a(x-h)^2+k$ 中，$x=h$ 时平方项为零，得到顶点 $(h,k)$。在 $h$ 两侧取相同距离 $t$，两个函数值都是 $at^2+k$，因此对称轴是 $x=h$。

它可以由 $y=ax^2$ 平移得到：点 $(t,at^2)$ 移到 $(t+h,at^2+k)$，令新横坐标 $x=t+h$，纵坐标就变成 $a(x-h)^2+k$。$h$ 为正时右移、为负时左移，距离为 $|h|$；$k$ 为正时上移、为负时下移，距离为 $|k|$。对应位移为零时不移动。

开口、单调区间与最值

平方 $(x-h)^2$ 始终非负，仅在 $x=h$ 时为零。所以 $a>0$ 时开口向上，$Q(x)\ge k$，最小值为 $k$；$a<0$ 时开口向下，$Q(x)\le k$，最大值为 $k$。

当 $x$ 在 $h$ 左侧增大时，到 $h$ 的距离减小，平方随之减小；在右侧增大时，距离和平方都增大。同乘正数保留这个方向，同乘负数则反转：

把函数值与自变量联系起来