二次条件
先守住二次条件
设 $a,b,c\in\mathbb R$，且 $a\ne0$：
$a\ne0$ 保证 $f$ 确实是二次函数，$ax^2+bx+c=0$ 确实是一元二次方程。若 $a=0$，对象会降为一次式或常数式，不能再套用一元二次方程的判别式结论。
配方与判别式
判别式怎样从方程中出现
从方程
出发。因为 $a\ne0$，两边同乘非零数 $4a$ 不改变方程的解，得到
把 $4ac$ 移到右边，再在两边同时加上 $b^2$，左边就能配成完全平方：
也就是
把右边记作
称为这个一元二次方程的判别式。于是，方程有没有实根、实根是否相同，转化成了实数平方能否等于 $\Delta$。
三种实根
三种符号对应三种实根情形
当 $\Delta>0$ 时，$\sqrt\Delta$ 是正实数，由
得到两个不同的实根
分母 $2a$ 不为 $0$，而两个分子相差 $2\sqrt\Delta>0$，所以两根确实不同。
当 $\Delta=0$ 时，$(2ax+b)^2=0$ 只能推出 $2ax+b=0$，因此
教材把它称为两个相等的实根；从不同实数解的个数看，只有一个实数解。
当 $\Delta<0$ 时，实数的平方不可能等于负数，所以方程没有实根。三种情况来自平方的正、零、负边界，不是孤立记忆的分类。
根与交点
实根与交点为什么一一对应
函数图象由点 $(x,f(x))$ 组成，而 $x$ 轴上的点纵坐标为 $0$。因此，对任意实数 $x_0$，
下面三种说法相互等价：
$x_0$ 是方程的根。
$f(x_0)=0$。
$(x_0,0)$ 是图象与 $x$ 轴的交点。
这个双向关系说明：$\Delta>0$ 时，方程有两个不同实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点；$\Delta=0$ 时，只有一个不同的实数解，抛物线与 $x$ 轴只有一个交点；$\Delta<0$ 时没有实根，也没有交点。在一个给定的二次函数中，开口方向由 $a$ 的符号决定，交点个数则由全部系数共同确定的 $\Delta$ 判断；无论开口向上还是向下，根与交点横坐标的双向对应都成立。
适用边界
不能把降次对象放进判别式分类
例如令 $a=0,b=1,c=0$，原式变成 $f(x)=x$，方程 $x=0$ 是一元一次方程，图象也是直线。即使形式上算出 $b^2-4ac=1$，也不能据此称它有“一元二次方程的两个实根”。判别式三分类的前提始终是 $a\ne0$。
判别式连接的是同一个二次对象的两种语言：代数上，它判断方程的实根情形；图象上，它判断抛物线与 $x$ 轴的交点个数。两者一致，是因为根与交点横坐标本来就是同一组实数。