任意角 | OpenKS

旋转与方向

一条射线从原来的位置出发，绕端点旋转到另一个位置。出发的射线叫角的始边，停止位置的射线叫角的终边，共同的端点叫角的顶点。

规定逆时针旋转形成正角，顺时针旋转形成负角；射线没有旋转时形成零角。于是角不再受一周限制：$720^\circ$ 表示逆时针转两周，$-450^\circ$ 表示顺时针转一周后再转 $90^\circ$。正负号记录方向，绝对值记录旋转量，二者都不能省略。

为了比较不同的角，通常把顶点放在坐标原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，这叫角的标准位置。此时，角的终边落在哪个象限内，就称它为第几象限角。

“落在象限内”是必要条件。比如 $90^\circ$ 的终边在 $y$ 轴非负半轴上，它不属于任何一个象限，所以不能称为第二象限角。终边落在坐标轴上的角统称为轴线角。

从同一条始边出发，旋转整周不会改变终边的位置。因此，对于用角度制度量且都放在标准位置的角，若角 $\alpha$ 已经确定，那么所有与它终边相同的角组成集合

$$ S=\{\beta\mid \beta=\alpha+k\cdot360^\circ,\ k\in\mathbb Z\}. $$

式中的 $k$ 必须是整数，因为每次增加或减少的都应是完整的一周；$k$ 可正、可负，也可以为零。这个式子既说明右边列出的角都与 $\alpha$ 同终边，也说明同终边角与 $\alpha$ 的差一定是整周。

例如，$-32^\circ$ 的所有同终边角组成集合

$$ \{\beta\mid \beta=-32^\circ+k\cdot360^\circ,\ k\in\mathbb Z\}. $$

取 $k=1$ 得 $328^\circ$，它是这组角在 $[0^\circ,360^\circ)$ 内的代表。二者终边相同，但旋转方向和旋转量不同，所以不能说它们是同一个角。

相差 360°，终边相同，角不相等。

同终边不等于同一个角。终边只表示最后的方向，角还记录旋转方向和旋转量。

同终边角从一个确定的角出发，每次加减整周。如果终边可以在一段范围内转动，就把这整段范围一起加减整周。

例如，第一象限内的终边在一周中对应 $0^\circ<\alpha<90^\circ$。加上任意整数周，所有第一象限角组成集合

$$ \{\alpha\mid k\cdot360^\circ<\alpha<90^\circ+k\cdot360^\circ,\ k\in\mathbb Z\}. $$

两个端点必须加上同一个 $k\cdot360^\circ$，这样才是把原来的范围完整地移到另一周。例如取 $k=-1$，得到 $-360^\circ<\alpha<-270^\circ$；其中的角虽然为负，终边仍在第一象限。

这里不取端点，因为坐标轴不属于象限。若描述的范围明确包含某条边界射线，对应端点就应取等号；是否包含端点，取决于终边允许落在哪里。

任意角记录的是一次有方向、可超过一周的旋转；标准位置让终边方向便于比较；同终边角则只在相差整周时出现。判断同终边时，不看两个数“相差不多”，而要检查它们的差能否写成 $k\cdot360^\circ$，其中 $k\in\mathbb Z$。