弧度制

从角度制到弧度制

角度制把一周平均分成 $360$ 份，每份是 $1^\circ$。它用“占一周多少份”来衡量角的大小。

弧度制换了一个参照：看角所对的弧长是半径的多少倍。这样，角与圆上的长度就直接联系起来了。换的是度量单位，角的旋转方向和旋转量都没有改变。

弧长等于半径，就是 1 弧度

在半径为 $r$ 的圆中，取一段长度也为 $r$ 的圆弧，它所对的圆心角就是 $1$ 弧度，单位记作 $\mathrm{rad}$。

弧长是半径的两倍，对应的正角就是 $2$ 弧度。一般地，正角所对的弧长为 $l$，它的弧度数 $\alpha$ 就是弧长与半径的比：

这里 $l$ 和 $r$ 要使用同一种长度单位。同一个角，圆变大时弧长和半径同比例变大，比值不变，所以弧度数不取决于圆的大小。

一周是 360°，也是 2π 弧度

一周的弧长是圆的周长 $2\pi r$。按弧度的定义，除以半径，得到一周的弧度数：

所以一周对应 $360^\circ=2\pi\ \mathrm{rad}$。把两边减半，就得到换算时最常用的关系：

再分别除以 $2$、$3$、$4$，就能得到几个熟悉角的弧度表示：

换算不必另记一套规则：角度数乘 $\frac{\pi}{180}$，就变成弧度数；反过来，弧度数乘 $\frac{180}{\pi}$，就变成角度数。例如：

反向换算时，用 $\frac{2\pi}{3}$ 乘 $\frac{180}{\pi}$，就回到 $120^\circ$。

优点：弧长和面积算起来更直接

先看弧长。对于一周以内的正角，如果角度数是 $n$，所对圆弧占整圆的 $\frac{n}{360}$，因此

这一步先求“占一周的比例”，再乘圆周长。如果已经知道弧度数 $\alpha=\frac{l}{r}$，两边同乘 $r$，直接得到

两种算法得到的弧长相同。弧度制把弧长与半径的比例直接写进角的数值里，因此不必在公式中再换算“占一周多少份”。

扇形面积也类似。对 $0<\alpha<2\pi$ 的扇形，它占整圆的比例是 $\frac{\alpha}{2\pi}$，用这个比例乘整圆面积：

约去 $\pi$，便得到

再把 $\alpha r$ 换成弧长 $l$，也可以写成 $S=\frac12lr$。

例如，半径为 $6$、圆心角为 $120^\circ$ 的扇形，先换成 $\frac{2\pi}{3}$ 弧度。弧度数乘半径，得到弧长：

再代入扇形面积公式，得到

关键是先换单位，不能把角度数 $120$ 直接代入 $l=\alpha r$。

单位和方向怎样保留

用弧度制表示角时，通常省略 $\mathrm{rad}$。例如，角 $\alpha=2$ 表示 $2$ 弧度，与 $2^\circ$ 不同。在后面的三角函数中，没有特别说明时，也把角的输入理解为弧度数。

角的正负仍按旋转方向确定：逆时针为正，顺时针为负，零角为 $0$。几何长度不能为负，所以带方向的角对应的弧长写成