同角三角函数基本关系

平方关系

平方关系来自单位圆

设任意角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$。因为 $P$ 在半径为 $1$ 的圆上，所以它的坐标满足

$$ x^2+y^2=1. $$

由任意角三角函数的定义，$x=\cos\alpha$，$y=\sin\alpha$。把这两个坐标代入圆的方程，得到

$$ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1, $$

也就是通常写成的

$$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. $$

这里只交换了加数的次序，没有增加新条件。无论终边在象限内还是坐标轴上，这个关系对每个实数 $\alpha$ 都成立。

商数关系

商数关系来自正切的定义

仍在同一个点 $P(x,y)$ 上，正切定义为纵坐标与横坐标之比：

$$ \tan\alpha=\frac{y}{x},\qquad x\ne0. $$

再用 $y=\sin\alpha$、$x=\cos\alpha$ 代换，便得到

$$ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \cos\alpha\ne0. $$

条件 $\cos\alpha\ne0$ 来自分母 $x\ne0$，等价于

$$ \alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. $$

所以平方关系对所有实数角都成立，商数关系却只能在正切有定义时使用。若 $\cos\alpha=0$，不能把商写成“无穷大”，也不能用乘法形式掩盖原式没有定义的事实。

开方的正负

开平方时，为什么有正负两个可能

平方关系可以把一个三角函数值转成另一个的平方。例如已知 $\sin\alpha=s$，先移项得到

$$ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-s^2. $$

从平方回到原数必须同时考虑两个平方根：

$$ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-s^2}. $$

公式只确定绝对值，正负号要由角的终边所在象限或坐标轴位置决定。若缺少这些信息，任选一个符号都会丢失可能性。同理，由余弦求正弦时也要保留 $\pm$。

象限与符号

用象限确定符号

例如，已知

$$ \sin\alpha=-\frac35, $$

并且 $\alpha$ 是第四象限角。由平方关系逐步得到

$$ \cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha =1-\left(-\frac35\right)^2 =\frac{16}{25}. $$

第四象限的横坐标为正，所以取正根，

$$ \cos\alpha=\frac45. $$

此时 $\cos\alpha\ne0$，商数关系可以使用：

$$ \tan\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} =-\frac34. $$

如果只知道 $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$，却不知道象限，那么终边可能在第三或第四象限，余弦分别为 $-\frac{4}{5}$ 或 $\frac{4}{5}$，正切也分别为 $\frac{3}{4}$ 或 $-\frac{3}{4}$。这不是公式失效，而是已知条件不足以选择符号。

平方和不变，符号看象限

α = π/6 rad（30°）

sin α = 1/2cos α = √3/2tan α = √3/3

P = (√3/2, 1/2)

$x^{2} + y^{2} = 1$

平方关系不能确定坐标的正负，还要看点所在的象限。

核心理解

两个关系各有什么条件

平方关系来自单位圆方程，负责联系正弦、余弦的平方；商数关系来自正切定义，使用前必须确认 $\cos\alpha\ne0$。反向计算经过开平方时，先保留 $\pm$，再依据象限确定符号。基本关系能连接同一个角的函数值，却不能代替象限信息，也不能改变任何函数原有的定义域。

01平方关系