正弦函数和余弦函数的图象

从圆到曲线

从单位圆得到正弦图象上的点

设角 $x$ 的终边与单位圆交于

$$ P(\cos x,\sin x). $$

当 $x$ 从 $0$ 增大到 $2\pi$ 时，点 $P$ 绕单位圆一周。对每一个 $x$，把 $P$ 的纵坐标 $\sin x$ 记录为平面上的点 $(x,\sin x)$，这些点组成函数 $y=\sin x$ 在 $[0,2\pi]$ 上的图象。

这里有两套坐标不能混淆：单位圆中 $P$ 的横坐标是 $\cos x$，而函数图象中点的横坐标是角 $x$。单位圆负责给出函数值，函数坐标系负责记录“输入—输出”的对应关系。

把圆上的坐标记录成曲线

拖动圆上的蓝色点，观察曲线上对应的点。曲线横轴记录弧度数，不是圆上点的横坐标。

五个关键点

五个关键点抓住一个周期的形状

单位圆上的右端点、上端点、左端点、下端点再回到右端点，对应

$$ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\dfrac{\pi}{2}&\pi&\dfrac{3\pi}{2}&2\pi\\ \hline \sin x&0&1&0&-1&0 \end{array} $$

于是得到五个关键点

$$ (0,0),\quad \left(\frac{\pi}{2},1\right),\quad (\pi,0),\quad \left(\frac{3\pi}{2},-1\right),\quad (2\pi,0). $$

终边依次转过四个四分之一周时，单位圆点的纵坐标按 $0\to1\to0\to-1\to0$ 变化，这给出了相邻关键点之间的起伏方向。纵坐标随转动连续变化，因此应按这个方向用光滑曲线连接五点。五个点适合画简图，但它们并不代替其余点；精确图象仍由所有 $(x,\sin x)$ 共同组成。

周期延拓

把一个周期延拓到全体实数

终边多转或少转整周后位置不变，所以对任意 $k\in\mathbb Z$，

$$ \sin(x+2k\pi)=\sin x. $$

这说明区间 $[2k\pi,2(k+1)\pi]$ 上的图象，与 $[0,2\pi]$ 上的形状相同，只是水平位置不同。把已经得到的一段图象向左、向右各平移 $2\pi$ 的整数倍，并让相邻端点重合，就得到 $y=\sin x$ 在 $\mathbb R$ 上的正弦曲线。

余弦曲线

余弦曲线怎样从正弦曲线得到

余弦也可以直接记录单位圆点的横坐标。一个周期内，它依次经过

$$ (0,1),\quad \left(\frac{\pi}{2},0\right),\quad (\pi,-1),\quad \left(\frac{3\pi}{2},0\right),\quad (2\pi,1). $$

诱导公式还给出

$$ \cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right). $$

若正弦曲线上的输入是 $u=x+\frac{\pi}{2}$，那么同一函数值在余弦曲线上的输入为 $x=u-\frac{\pi}{2}$。因此，把正弦曲线上的每个点向左平移 $\frac{\pi}{2}$，就得到余弦曲线。两条曲线形状相同，只是峰、谷和零点出现的位置相差 $\frac{\pi}{2}$。

核心理解

图象的生成主线

先用单位圆读出一个周期内的函数值，再用关键点把这一段的形状画清，最后利用整周旋转带来的重复关系向两侧延拓。正弦曲线与余弦曲线不是两幅互不相干的图，它们是同一种圆周坐标变化在不同起始位置上的记录。

01从圆到曲线