两角和与差的三角函数公式

差角余弦

先用同一段距离，联系两个角

我们要把 $\cos(\alpha-\beta)$ 写成 $\alpha$、$\beta$ 的三角函数值的组合。办法是：在单位圆上取两个点，先计算它们的距离，再把两个点一起旋转，用新坐标重算一次。距离不变，就能把两种结果联系起来。

先写出两点的坐标

$$P(\cos\alpha,\sin\alpha),\qquad Q(\cos\beta,\sin\beta)$$

单位圆上，角的余弦是点的横坐标，正弦是点的纵坐标。分别写出角 $\alpha$、$\beta$ 对应的点 $P$、$Q$。

连接 $P$、$Q$，把线段 $PQ$ 的长度记为 $d$。下面的 $d^2$ 表示两点距离的平方。

用坐标算出距离的平方

$$d^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2$$

两个括号分别是横坐标之差、纵坐标之差。根据勾股定理，两点距离的平方等于这两个差的平方和。

$$\begin{aligned} (\cos\alpha-\cos\beta)^2&=\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta,\\ (\sin\alpha-\sin\beta)^2&=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta \end{aligned}$$

先用完全平方公式分别展开。每个平方中都包含两个平方项，以及一个带负号的交叉项。

$$\begin{aligned} d^2&=(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)\\ &\quad-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \end{aligned}$$

把两式相加后，将同一个角的平方项放在一起，并把两个交叉项的公因数 $-2$ 提出来。

$$d^2=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)$$

同一个角的正弦平方与余弦平方之和等于 $1$，因此两组平方项合起来等于 $2$。

两点都旋转 $-\beta$，再计算距离

让两个点都绕原点、沿相同方向转过相同的角度，两点之间的距离保持不变。这里选择转过 $-\beta$，也就是把两个点对应的角都减去 $\beta$，让 $Q$ 转到 $x$ 轴正半轴，同时使 $P$ 对应的角变成 $\alpha-\beta$。

$$Q'(1,0),\qquad P'(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta))$$

$Q$ 的角变为 $\beta-\beta=0$，所以 $Q'$ 的坐标是 $(1,0)$；$P$ 的角变为 $\alpha-\beta$，据此写出 $P'$ 的坐标。

$$d^2=[\cos(\alpha-\beta)-1]^2+\sin^2(\alpha-\beta)$$

旋转不改变两点之间的距离，所以 $P'Q'$ 的长度仍为 $d$。再次使用距离公式：横坐标相减，纵坐标也相减，然后分别平方、相加。

$$\begin{aligned} d^2&=[\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)]\\ &\quad-2\cos(\alpha-\beta)+1 \end{aligned}$$

展开第一个平方，得到 $\cos^2(\alpha-\beta)-2\cos(\alpha-\beta)+1$。再与原来的正弦平方项合并。

$$d^2=2-2\cos(\alpha-\beta)$$

方括号内等于 $1$，再与外面的常数 $1$ 相加，得到第二种计算结果。

令两种结果相等

$$\begin{aligned} 2-2\cos(\alpha-\beta) &=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \end{aligned}$$

旋转前后距离不变，两次算出的 $d^2$ 相等。

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

两边减去 $2$，再除以 $-2$，得到差角余弦公式。

这个推导不要求 $\alpha$、$\beta$ 是锐角；单位圆上的坐标与旋转关系对任意实数角都成立。

余弦和角

把差角中的一个角换成相反数

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos[\alpha-(-\beta)]$$

把和角写成差角，再用差角余弦公式。

$$\cos[\alpha-(-\beta)]=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)$$

在差角余弦公式中，用 $-\beta$ 替换原来的 $\beta$。

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

余弦是偶函数，$\cos(-\beta)=\cos\beta$；正弦是奇函数，$\sin(-\beta)=-\sin\beta$。因此只有正弦乘积变号，得到和角余弦公式。

余弦的两条公式结构相同：差角对应两个乘积相加，和角对应两个乘积相减。

正弦和差

先把正弦转成余弦，再展开

$$\sin(\alpha+\beta)=\cos\left[\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right]$$

要得到正弦的和角公式，可以先用诱导公式 $\sin\theta=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$。令 $\theta=\alpha+\beta$，再整理括号里的角。

$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta\\ &\quad+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta \end{aligned}$$

两个角分别是 $\frac{\pi}{2}-\alpha$ 和 $\beta$。将它们代入差角余弦公式，展开右边。

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

再用诱导公式，把 $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)$ 换成 $\sin\alpha$，把 $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$ 换成 $\cos\alpha$，就得到和角正弦公式。

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)$$

要求差角正弦，仍把 $\beta$ 换成 $-\beta$。先代入和角正弦公式。

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

由于 $\cos(-\beta)=\cos\beta$、$\sin(-\beta)=-\sin\beta$，第二个乘积变号，于是得到差角正弦公式。

正弦和角、差角公式中的加减号，与角之间的加减号一致。

正切与条件

把正弦与余弦的比化成正切

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$$

根据正切的定义，把和角的正切写成正弦与余弦的比。这里要求 $\cos(\alpha+\beta)\ne0$。

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$$

把分子、分母分别用正弦和角公式、余弦和角公式展开。

为了将右边也写成正切，分子、分母同除以 $\cos\alpha\cos\beta$。这一步还要求 $\cos\alpha\ne0$、$\cos\beta\ne0$。

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

相除后，分子中的两个乘积分别变成 $\tan\alpha$、$\tan\beta$；分母中的两项分别变成 $1$、$\tan\alpha\tan\beta$。因此得到和角正切公式。

$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

差角公式可以用同样的方法推出：将分子换成正弦差角公式，分母换成余弦差角公式，再同除以 $\cos\alpha\cos\beta$。分子中的加号变为减号，分母中的减号变为加号。

这两条公式都要求 $\tan\alpha$、$\tan\beta$ 有意义，且右边的分母不为 $0$。在前两个条件下，右边分母不为 $0$，也就保证和角或差角的正切有意义。

不能只看左边有没有意义。例如 $\alpha=\frac{\pi}{2}$ 时，$\tan\alpha$ 无定义，即使某个和角或差角的正切有意义，也不能使用上面的正切公式。

公式联系

公式族的共同结构

和差角公式汇总
函数	和角公式	差角公式
正弦	$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$	$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
余弦	$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$	$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
正切	$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$	$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

正弦、余弦公式适用于任意实数角。正切公式要求 $\tan\alpha$、$\tan\beta$ 有意义，且对应分母不为 $0$。

公式之间的联系
已有公式	变换	得到
$\cos(\alpha-\beta)$	$\beta\mapsto-\beta$	余弦和角公式
余弦差角公式	$\sin\theta=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$	正弦和角，再得差角
正弦、余弦和差公式	$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$	正切和差公式（须检查定义）

差角余弦是起点：换相反数得到余弦和角，经诱导公式得到正弦和差，再由正切定义得到带条件的正切和差。

01差角余弦