二倍角公式 | OpenKS

从和角到倍角

让和角中的两个角相同

在正弦和角公式中令两个角都等于 $\alpha$：

$$ \begin{aligned} \sin 2\alpha &=\sin(\alpha+\alpha)\\ &=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\\ &=2\sin\alpha\cos\alpha \end{aligned} $$

第二步使用正弦和角公式，最后把两个相同的乘积合并，得到正弦二倍角公式。

同样，在余弦和角公式中令两个角相同：

$$ \begin{aligned} \cos 2\alpha &=\cos(\alpha+\alpha)\\ &=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha\\ &=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \end{aligned} $$

这里的减号来自余弦和角公式，而两个同类乘积分别写成平方。

余弦的三种形式

余弦公式为什么有三种形式

由同角基本关系 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，可以消去其中一种三角函数。消去 $\sin^2\alpha$ 时，

$$ \begin{aligned} \cos 2\alpha &=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\ &=2\cos^2\alpha-1 \end{aligned} $$

消去 $\cos^2\alpha$ 时，

$$ \begin{aligned} \cos 2\alpha &=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha \end{aligned} $$

所以三个式子并非三条独立公式：第一式同时含正弦、余弦，后两式分别只含余弦或只含正弦。它们对任意实数 $\alpha$ 都成立；使用时可按已知量选择，避免先求不需要的三角函数值。

例如，若 $\sin\alpha=\frac35$，要求 $\cos2\alpha$ 时直接选只含正弦的形式：

$$\begin{aligned} &\cos2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha\\ &=1-2\times\left(\frac35\right)^2\\ &=\frac7{25} \end{aligned}$$

这一步不需要判断 $\cos\alpha$ 的符号，因为所选公式只使用 $\sin^2\alpha$。

正切与条件

正切二倍角要先检查定义

在正切和角公式中令两个角都等于 $\alpha$，有

$$ \begin{aligned} \tan2\alpha &=\tan(\alpha+\alpha)\\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\\ &=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned} $$

推导中使用了 $\tan\alpha$，且最终分母不能为零。因此必须同时满足

$$ \cos\alpha\ne0, \qquad \cos2\alpha\ne0 $$

在 $\cos\alpha\ne0$ 的前提下，

$$\begin{aligned} &\cos2\alpha\\ &=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ &=\cos^2\alpha(1-\tan^2\alpha) \end{aligned}$$

此时 $\cos^2\alpha>0$，所以 $\cos2\alpha\ne0$ 等价于 $1-\tan^2\alpha\ne0$。两个条件也可写成 $\alpha\ne\frac\pi2+k\pi$ 且 $\alpha\ne\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$，其中 $k\in\mathbb Z$。

边界处不能只看等式的一边。例如 $\alpha=\frac\pi2$ 时，$\tan2\alpha=\tan\pi=0$，但 $\tan\alpha$ 无意义，不能套用正切二倍角公式。

核心理解

抓住共同来源

二倍角公式汇总
函数	二倍角公式
正弦	$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
余弦	$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
	$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
	$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
正切	$\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

正弦、余弦公式适用于任意实数角。正切公式要求 $\tan\alpha$ 有意义，且 $1-\tan^2\alpha\ne0$。

同一公式，选择不同的已知量
已知量	选用形式
正弦和余弦	$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
只知道余弦	$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
只知道正弦	$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
正切（且满足条件）	$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

正弦、余弦二倍角公式对任意实数 $\alpha$ 成立；余弦的三种形式由同角基本关系互相转化。正切公式仍继承正切和角公式的定义条件。它们的共同来源只有一步：在和角公式中令两个角相同。

01从和角到倍角