正弦型函数的图象与参数

01先看整体相位

先看整体相位

上一篇研究 $y$ 随时间 $t$ 的变化。本篇用 $x$ 表示一般自变量，不再表示圆上点的横坐标。研究的函数为：

$$y=A\sin(\omega x+\varphi)$$

约定 $A>0$、$\omega>0$，$\varphi$ 为实数。$A$ 是外面的倍数，$\omega$ 和 $\varphi$ 一起改变输入正弦的角。

$$u=\omega x+\varphi$$

把括号里的整体记作 $u$。这个输入正弦的角称为相位；当 $x=0$ 时，相位是 $\varphi$，所以它称为初相。

初相是角，不是函数值：$x=0$ 时，函数值为 $A\sin\varphi$。先研究 $\sin u$，再把角 $u$ 换成横坐标 $x$，就能读懂图象。

02$A$ 改变纵向大小

$A$ 改变纵向大小

把正弦值乘以 $A$，每个点的纵坐标就变为原来的 $A$ 倍，横坐标不变。

$$-1\leq\sin u\leq1$$

普通正弦的最大值是 $1$，最小值是 $-1$。

$$-A\leq A\sin u\leq A$$

由于 $A>0$，乘以 $A$ 后，值域是 $[-A,A]$。

图象偏离 $x$ 轴的最大距离为 $A$，这个数叫作振幅。波峰与波谷的高度差是 $2A$，不是振幅。改变 $A$ 只改变纵向大小，不改变周期和水平位置。

03$\omega$ 改变横向疏密

$\omega$ 改变横向疏密

相位增加 $2\pi$，正弦恰好完成一轮重复。这一轮对应的横向长度，就是周期 $T$。

$$\begin{aligned}u(x)&=\omega x+\varphi\\u(x+T)&=\omega x+\omega T+\varphi\end{aligned}$$

横坐标增加 $T$ 时，把 $x+T$ 代入相位式，再展开括号。

$$\omega T=2\pi$$

两次相位之差是 $\omega T$。完成一个周期，这个差应等于 $2\pi$。

$$T=\frac{2\pi}{\omega}$$

两边除以正数 $\omega$。因此 $\omega$ 越大，周期越短，曲线越密。

与 $y=\sin x$ 相比，$y=\sin(\omega x)$ 中同一相位的横坐标变为原来的 $\dfrac1\omega$。$\omega$ 越小，曲线越疏。

04$\varphi$ 决定水平位置

$\varphi$ 决定水平位置

比较 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 与 $y=A\sin(\omega x)$，先把相位里的 $\omega$ 提出来：

$$\omega x+\varphi=\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)$$

提取 $\omega$ 后，括号里增加的是 $\dfrac{\varphi}{\omega}$，不是 $\varphi$。

$$h=-\frac{\varphi}{\omega},\quad u=\omega(x-h)$$

记水平位移为 $h$。同一相位的位置整体移动 $h$：$h<0$ 向左，$h>0$ 向右。

所以 $\varphi>0$ 时左移，$\varphi<0$ 时右移，实际位移是 $-\dfrac{\varphi}{\omega}$。

也可以先把 $y=\sin x$ 平移 $-\varphi$，得到 $y=\sin(x+\varphi)$，再把横坐标缩放为原来的 $\dfrac1\omega$，最后把纵坐标乘以 $A$。横向缩放会把先前的位移也变成 $-\dfrac{\varphi}{\omega}$。

05在同一坐标尺度下比较

在同一坐标尺度下比较

每次只改一个参数：改 $A$ 看波峰高度，改 $\omega$ 看重复的疏密，改 $\varphi$ 看相对于虚线的平移。坐标尺度始终不变。

蓝色实线：当前函数；紫色虚线：$y=A\sin(\omega x)$。$x$ 轴取 $-2\pi$ 至 $2\pi$，$y$ 轴取 $-4$ 至 $4$。

振幅 $A$

参数 $\omega$

初相 $\varphi$

值域

周期

水平位移

06用相位五点确定一个周期

用相位五点确定一个周期

先取正弦一轮中的五个关键相位，再换算横坐标。这样既确定位置，也确定高度。

$$x=\frac{u-\varphi}{\omega}$$

由 $u=\omega x+\varphi$，先减去 $\varphi$，再除以 $\omega$，就得到横坐标。

从相位到纵坐标
$u$	$0$	$\dfrac\pi2$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}2$	$2\pi$
$y$	$0$	$A$	$0$	$-A$	$0$

参数例子

$$y=2\sin\left(3x-\frac\pi6\right)$$

读出 $A=2$、$\omega=3$、$\varphi=-\dfrac\pi6$。

$$T=\frac{2\pi}{3},\qquad h=\frac{\pi}{18}$$

周期为 $\dfrac{2\pi}3$；相对于 $y=2\sin3x$，图象向右移动 $\dfrac\pi{18}$。

$$x=\frac{u+\frac\pi6}{3}$$

将五个关键相位依次代入，得到下表的横坐标；纵坐标依次是 $0,2,0,-2,0$。

一个周期内的五点（窄屏可横向滚动）
$u$	$x$	$y$
$0$	$\dfrac\pi{18}$	$0$
$\dfrac\pi2$	$\dfrac{2\pi}9$	$2$
$\pi$	$\dfrac{7\pi}{18}$	$0$
$\dfrac{3\pi}2$	$\dfrac{5\pi}9$	$-2$
$2\pi$	$\dfrac{13\pi}{18}$	$0$

$$\frac{13\pi}{18}-\frac\pi{18}=\frac{2\pi}3$$

首尾横坐标之差等于周期。第二、第四点的纵坐标是 $2$ 和 $-2$，也与振幅相符。

07参数判断的统一顺序

参数判断的统一顺序

先确认参数条件，再按“整体相位—横坐标—纵坐标”的顺序判断。

正弦型函数的参数与条件
对象	公式或条件	意义
条件	$A>0,\ \omega>0$ $x,\varphi\in\mathbb R$	本篇讨论范围
相位	$u=\omega x+\varphi$	输入正弦的整体角
初相	$\varphi$	$x=0$ 时的相位
振幅	$A$	值域 $[-A,A]$
周期	$\dfrac{2\pi}{\omega}$	一轮重复的横向长度
位移	$-\dfrac{\varphi}{\omega}$	相对于 $y=A\sin(\omega x)$

先用相位定位，再用周期判断疏密，最后用振幅确定高度。水平位移要除以 $\omega$，不能只看初相。