边角条件
先辨认已知的边与角
由已知的边、角求其余边、角，叫作解三角形。约定三角形的内角为 $A,B,C$，它们的对边依次为 $a=BC$、$b=CA$、$c=AB$。边长为正，内角在 $0$ 与 $\pi$ 之间；$\pi$ 弧度就是 $180^\circ$。
先按已知的边角条件分类，再选择求解工具。缩写中的 S 表示边，A 表示角：
| 条件 | 怎样判断、求解 |
|---|---|
| 三边（SSS） | 满足三角形两边之和大于第三边时唯一；用余弦定理求角。 |
| 两边及夹角（SAS） | 夹角在 $0$ 与 $\pi$ 之间时唯一；先用余弦定理求第三边。 |
| 两角及夹边（ASA） | 两个角均为正且和小于 $\pi$ 时唯一；先求第三角，再用正弦定理求边。 |
| 两角及一角的对边（AAS） | 与 ASA 同理，合法数据唯一确定三角形。 |
| 两边及其中一边的对角（SSA） | 可能有零解、一解或两解；需要继续筛选。 |
只知道三个角，能确定形状，却不能确定边长：大小不同的相似三角形具有相同的三个角。
三边、两边及夹角的情形，用余弦定理求解；两角和一边的情形，先求第三角，再用正弦定理求边。这些条件在数据合法时都唯一确定三角形。下面的 02—04 专门分析可能出现多解的 SSA：先用正弦定理得到候选角，再按已知角 $A$ 的大小分情况筛选。
SSA 的统一方法
SSA：先求候选角，再检查内角和
在 SSA 中，已知的是角 $A$、它的对边 $a$ 和另一条边 $b$。因为已有一组对应的边与角，这里选用正弦定理求 $\sin B$，再检查候选角能否留下正的第三角。
下面把两个候选三角形分开画。每幅图的顶点都记作 $A,B,C$：红色边 $a$ 对着角 $A$，蓝色边 $b$ 对着角 $B$。两幅图中，已知角 $A$ 和边长 $a,b$ 相同。
正弦定理中，边 $a$ 与角 $A$ 对应，边 $b$ 与角 $B$ 对应。右边大于 $1$ 时无解；等于 $1$ 时只有候选角 $B=\frac\pi2$。
右边在 $(0,1)$ 内时，先取锐角候选 $B_1$。它的补角 $B_2$ 具有相同的正弦值，也是候选。
对每个候选角分别检查这个条件。等号会使 $C=0$，三点共线，不能作为三角形。
两个候选角不等于两个三角形。筛选条件 $A+B<\pi$ 中含有已知角 $A$，因此接下来分两种情况：03 讨论 $A$ 为锐角，04 讨论 $A$ 为直角或钝角。两种情况都沿用上面的正弦定理和内角和检查。
SSA：A 为锐角
SSA：已知角 A 为锐角
先看 SSA 的第一种情况：已知角 $A$ 为锐角，即 $0<A<\frac\pi2$。从 $C$ 向角 $A$ 的另一边所在直线作垂线，垂足记作 $H$，高度记作 $h$。
$AC=b$，所以垂直高度 $CH=b\sin A$。边 $a=BC$ 必须跨过这个高度，才可能连接到直线上的点 $B$。
| 边长关系 | 解 | 原因 |
|---|---|---|
| $a<h$ | 0 | $\sin B=h/a>1$，没有候选角。 |
| $a=h$ | 1 | $B=90^\circ$；$A$ 为锐角，所以第三角仍为正。 |
| $h<a<b$ | 2 | 锐角候选与补角候选都满足内角和。 |
| $a\ge b$ | 1 | 只有锐角候选满足 $A+B<\pi$。 |
当 $a>h$ 时，锐角候选 $B_1$ 总能保留。是否有第二解，取决于它的补角：
补角可保留，当且仅当锐角候选 $B_1>A$。
$A,B_1$ 都是锐角，正弦在这一区间递增；又因 $\sin A>0$，比较正弦值就得到 $a<b$。
这就得到两解区间 $h<a<b$。特别地，$a=b$ 时，$B_1=A$，补角候选使 $A+B_2=\pi$，必须排除；仍只有一个三角形。
SSA：A 为直角或钝角
SSA：已知角 A 为直角或钝角
再看 SSA 的第二种情况：已知角 $A$ 为直角或钝角，即 $\frac\pi2\le A<\pi$。仍检查同一个条件 $A+B<\pi$；这时角 $B$ 被限制在锐角范围内，补角候选不可能保留。
第三角必须为正，故 $B<\pi-A$。这里只可能保留锐角候选。
在 $[0,\frac\pi2]$ 上，正弦递增，且 $\sin(\pi-A)=\sin A$。所以候选角小于 $\pi-A$，当且仅当 $a>b$。
$a>b$ 时有且只有一解；$a\le b$ 时无解。当 $a=b$ 时，候选角恰好使 $A+B=\pi$；当 $a<b$ 时，候选角越过内角和边界，或根本不存在。因此，不能仅凭 $\sin B\le1$ 就认定有解。
两解实例
同一组条件，对应两个三角形
设 $A=30^\circ$、$a=8$、$b=10$。先比较边长与高度，再检查两组角。
已知角为锐角，且 $h<a<b$，因此有两解。
锐角候选 $B_1\approx38.7^\circ$，补角候选 $B_2\approx141.3^\circ$。两者与 $30^\circ$ 的和都小于 $180^\circ$。
分别由 $C=180^\circ-A-B$ 求出第三角，两者均为正。
再用正弦定理，得到 $c_1\approx14.9$、$c_2\approx2.4$。
下面两图使用相同比例，固定 $A$ 与 $C$。边 $AC=10$、角 $A=30^\circ$ 不变；点 $B$ 取两个不同位置时，$BC$ 都等于 $8$。
第 1 解 · 锐角 B
第 2 解 · 钝角 B
两种位置对应不同的角 $B$ 和边 $c$，所以是两个不同的三角形。如果把 $a$ 改为高度 $h=5$，则 $B$ 与垂足 $H$ 重合，只剩下 $B=90^\circ$ 这一解。
条件总结
把候选角与成立条件一起保留
先辨认条件，再决定用哪个定理。SSS、SAS、ASA/AAS 在数据合法且非退化时唯一；SSA 统一记成已知 $A,a,b$ 后，按下表判断。
| 已知角 | 边长条件 | 解 |
|---|---|---|
| $0<A<\frac\pi2$ | $a<h$ | 0 |
| 锐角 | $a=h$ | 1 |
| 锐角 | $h<a<b$ | 2 |
| 锐角 | $a\ge b$ | 1 |
| $\frac\pi2\le A<\pi$ | $a>b$ | 1 |
| 直角或钝角 | $a\le b$ | 0 |
$h$ 给出高度界限；正弦定理给出候选角。
每一个保留的候选角都要通过严格的内角和检查，保证 $C>0$。
确认三角形成立后，再求剩余的边。
解三角形不只是在求数值。边角条件决定候选，内角和排除退化或不成立的情况，最后留下的才是三角形的解。