等差数列与通项公式

固定差

每一步的变化量都相同

从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫作等差数列。这个常数叫作公差，记作 $d$；$a_n$ 表示第 $n$ 项。

$$a_n-a_{n-1}=d$$

后一项减前一项。$n\geqslant2$，且两项都存在。

$3,7,11,15,\ldots$ 每次加 $4$，公差为 $4$。$1,-1,1,-1,\ldots$ 的相邻差交替为 $-2$、$2$，不是等差数列。

公差的正负决定变化方向：

$d>0$：每一步增加，数列递增。
$d<0$：每一步减少，数列递减。
$d=0$：每一步都不变，各项相等，常数列也属于等差数列。

通项公式

从首项到第 n 项，加了 n−1 次公差

从首项开始，每次加上 $d$：

$$a_2=a_1+d$$

比首项多一个 $d$。

$$a_3=a_2+d=a_1+2d$$

代入 $a_2$，合计加了两次 $d$。

$$a_4=a_3+d=a_1+3d$$

代入 $a_3$，合计加了三次 $d$。

从第 1 项到第 $n$ 项，共加了 $n-1$ 次 $d$，因此：

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

第 $n$ 项＝首项＋$n-1$ 次公差。

4 项之间有 3 个间隔：$a_4=3+3\times4=15$。

$n$ 为正整数，且第 $n$ 项存在；有 $N$ 项时，$n\leqslant N$。取 $n=1$，公式仍得到首项 $a_1$。

任何已知项都可以作为起点

已知第 $m$ 项时，对实际存在的两项有：

$$a_n=a_m+(n-m)d$$

从位置 $m$ 到位置 $n$，变化量为 $(n-m)d$。

$n>m$ 时向后推，$n<m$ 时向前推。

线性结构

同样的步数，同样的变化

展开通项公式，可得：

$$a_n=dn+(a_1-d)$$

展开 $(n-1)d=nd-d$，整理常数部分。

点 $(n,a_n)$ 都在直线 $y=dx+(a_1-d)$ 上。序号只取允许的正整数，所以图象只包含这些点，不是整条直线。

例如 $a_1=3$、$d=4$，则 $a_n=4n-1$。下图画出前四项：

蓝点表示数列的项，灰色虚线辅助读数；蓝点之间不连线。

下标和相等，为什么项的和也相等？

若各项存在，且正整数下标满足 $p+q=s+t$，代入通项公式：

$$a_p+a_q=2a_1+(p+q-2)d$$

两项相加，合并首项与公差的系数。

$$a_s+a_t=2a_1+(s+t-2)d$$

同样代入并合并。

$$a_p+a_q=a_s+a_t$$

$p+q=s+t$，所以两式右边相等。

等差中项

中间的数是两端的平均数

若 $a,A,b$ 依次组成等差数列，$A$ 就叫作两端的等差中项。

$$A-a=b-A$$

相邻两项的差相等。

$$2A=a+b$$

移项，合并两个 $A$。

$$A=\frac{a+b}{2}$$

两边除以 $2$。

反过来，$A=\frac{a+b}{2}$ 也能推出 $A-a=b-A$。两端相等时，公差为 $0$。

核心结论

把公式与成立条件一起记住

定义：相邻项的差恒为 $d$，$d$ 可正、可负、可为零。

通项：$a_n=a_1+(n-1)d$。关键是从首项到第 $n$ 项，共加了 $n-1$ 次公差。

换起点：$a_n=a_m+(n-m)d$，两项须存在。

等差中项：$A=\frac{a+b}{2}$。

01固定差