高中数学 · E05 · 等差数列

等差数列的前 n 项和

等差数列的前 n 项和可以由首尾配对、倒序相加推导。本篇说明两种求和公式的来源、平均数含义及适用条件。

首尾同和

一边加公差，一边减公差，和不变

设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。取实际存在的前 $n$ 项（$n$ 为正整数），它们的和记作 $S_n$。

$$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$$

$a_n$ 是第 $n$ 项，$S_n$ 是前 $n$ 项的总和。

为了简化求和，先把首项与末项配在一起，再把第二项与倒数第二项配在一起。首尾这一对的和是 $a_1+a_n$。

当 $n\geqslant2$ 时，向中间各移动一个位置：前面的项加上 $d$，后面的项减去 $d$。

$$a_2+a_{n-1}=(a_1+d)+(a_n-d)$$

用 $a_1+d$ 表示第二项，用 $a_n-d$ 表示倒数第二项。

$$a_2+a_{n-1}=a_1+a_n$$

一个加 $d$，一个减 $d$，恰好抵消。

继续向中间移动，每次都是一边加 $d$、另一边减 $d$，两项的和始终不变。因此，首尾对称的两项之和都等于首项加末项。

例如 $3,5,7,9,11$ 中，$3+11=14$，$5+9=14$，中间的 $7$ 与自身相加也得 $14$。当 $n=1$ 时，唯一的一项同样与自身对应。下一步把数列正写一次、倒写一次，就能利用这些相同的和。

倒序相加

正写一次，倒写一次，得到 n 个相同的和

现在把同一个 $S_n$ 写两遍。第二遍只把加数顺序倒过来，总和并没有改变。

$$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$$

第一行从首项写到末项，一共有 $n$ 项。

$$S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1$$

第二行从末项写回首项，仍然是同样的 $n$ 项。

$$\begin{aligned}2S_n={}&(a_1+a_n)\\&+(a_2+a_{n-1})\\&+\cdots+(a_n+a_1)\end{aligned}$$

把两行对应位置相加。左边是两个 $S_n$，右边每一列都是一对首尾对称项。

$$2S_n=n(a_1+a_n)$$

每列之和都是 $a_1+a_n$，而这样的列一共有 $n$ 列。

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2$$

刚才求的是两倍的和，两边除以 $2$，才得到原来的前 $n$ 项和。

这里没有把原来的数列分成互不重叠的两项一组，而是把两份完整数列逐列相加，所以不必区分 $n$ 的奇偶。奇数项时，中间项恰好与自身相加。

用五项看清“有 n 列”

看等差数列 $3,5,7,9,11$。下面蓝色一行正写，紫色一行倒写；沿着每一列向下看，最后一行都是 $14$。

位置12345
正序357911
倒序119753
列和1414141414
中间的第 3 列是 $7+7=14$；五列相加得到的是 $2S_5$。

因此 $2S_5=5\times14=70$，而 $S_5=35$。除以 $2$ 是因为算了两份数列，不是因为项数一定为偶数。

平均数

首末两项，确定整列的平均水平

求和公式还可以换一个角度理解。把两边都除以正整数 $n$，得到前 $n$ 项的平均数。

$$\frac{S_n}{n}=\frac{a_1+a_n}{2}$$

左边是总和除以项数，右边是首末两项的算术平均数。首尾对称项总和相同，整列的平均水平就在首项与末项的中间。

$$S_n=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}$$

再乘以项数：总和就是“项数乘每项的平均值”。这与刚才的求和公式完全相同。

五项例子里，首末两项的平均数是 $7$，所以总和为 $5\times7=35$。这个解释来自首尾同和，并非额外需要记忆的规则。

首项与公差

末项未知时，把通项公式代进去

若已知的是首项 $a_1$ 和公差 $d$，用 $a_n=a_1+(n-1)d$ 替换末项。改变的是表达形式，求的仍是同一个 $S_n$。

$$S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}2$$

把首末项之和写成 $a_1+a_1+(n-1)d$，合并两个首项。

$$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}2d$$

展开分子并除以 $2$：两个首项贡献 $na_1$，其余部分来自各项相对首项的变化。

两部分分别从哪里来？

每一项都包含一个首项，而公差的份数依次为 $0,1,\ldots,n-1$。仍看刚才的五项，把每一项拆成下面两部分。

项值357911
首项33333
变化0d1d2d3d4d
这里 $d=2$，每列的首项与变化之和就是上方项值。五个首项共 $15$，十个公差共 $20$，总和为 $35$。

一般地，$n$ 个首项贡献 $na_1$；$0$ 到 $n-1$ 个公差累计贡献 $\frac{n(n-1)}2d$。表中记录的是带符号的变化，不是面积；$d$ 为负时，变化也可以为负。

公差为零时，二次项消失

继续按 $n$ 的次数整理，可看清前项和与项数的关系。

$$S_n=\frac d2n^2+\left(a_1-\frac d2\right)n$$

展开 $n(n-1)$，把含 $n$ 的项合并。当 $d\ne0$ 时，这是关于正整数 $n$ 的二次式。

$$d=0\quad\Longrightarrow\quad S_n=na_1$$

公差为零，数列是常数列，二次项消失。把 $n$ 个相同的首项相加，仍符合前面的两种公式。

适用边界

先确认等差，再选择手边的数据

两种公式都以等差数列为前提：$n$ 必须是正整数，而且数列实际具有前 $n$ 项。若不是等差数列，首尾对称项的和未必相等，就不能把倒序相加的结果直接写成 $n$ 个相同的数。

对于 $3,5,7,9,11$，已知 $a_1=3$、$d=2$、$n=5$、$a_5=11$。两种已知条件分别带来两种计算写法。

$$S_5=\frac{5(3+11)}2=35$$

已知首项、末项与项数，直接使用首末项形式。

$$\begin{aligned}S_5&=5\times3+\frac{5\times4}{2}\times2\\&=15+20=35\end{aligned}$$

已知首项、公差与项数，使用首项与公差形式。结果与逐项相加一致。

不用把它们看成互不相关的两条公式：第二种形式只是把第一种形式里的末项换成了通项表达式。

核心结论

同和配对，是两种公式共同的来源

恒定公差使首尾对称的两项总和相同。正写一次、倒写一次，有 $n$ 列同和；再除以 $2$，还原一份数列的总和。

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2$$

已知首项 $a_1$、末项 $a_n$ 和项数 $n$ 时，用首末项形式。

$$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}2d$$

已知首项 $a_1$、公差 $d$ 和项数 $n$ 时，用首项与公差形式。$d=0$ 时，两式都得到 $S_n=na_1$。

适用于实际具有前 $n$ 项的等差数列，$n$ 为正整数；奇数项和偶数项使用同一推导。两式都表示项数乘首末两项的平均数。