固定公比
每一步，都乘同一个非零数
前面研究的等差数列，每次增加同一个量。有些数列则每次把前一项乘同一个数。等比数列研究的正是这种固定倍数变化。
如果从第 $2$ 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，这个数列就叫作等比数列。这个常数叫作公比，记作 $q$；$a_n$ 表示第 $n$ 项。
从 $n\geqslant2$ 开始，前后两项都必须存在。前一项非零，且 $q\ne0$。
把比值式两边乘以前一项，得到递推关系。用这个关系定义数列时，还须给出非零首项 $a_1\ne0$。
由非零首项不断乘非零公比，每一项都不会等于 $0$。例如 $2,-6,18,-54,\ldots$，相邻两项的比始终是 $-3$，所以它是等比数列。
通项推导
到第 n 项，为什么只乘 n−1 次？
知道每一步都乘 $q$，就可以从首项向后逐项展开。先看第 $2$、$3$、$4$ 项，各自经历了几次相乘。
从第 $1$ 项到第 $2$ 项，向后走一步，乘了 $1$ 次 $q$。
将 $a_2=a_1q$ 代入，再乘一次 $q$；两次相乘合成 $q^2$。
将 $a_3=a_1q^2$ 代入，再乘一次 $q$；从首项出发共乘了 $3$ 次。
从第 $1$ 项走到第 $n$ 项，跨过的是 $n-1$ 个相邻位置，因此公比也只乘 $n-1$ 次。
$a_1$ 是起点，$q$ 是每一步的倍数，指数 $n-1$ 记录相乘次数。这就是等比数列的通项公式。
$n$ 只能取数列实际具有的正整数下标；若数列只有 $N$ 项，就有 $1\leqslant n\leqslant N$。当 $n=1$ 时，$q^0=1$，公式仍给出首项 $a_1$。
换一个起点，仍然按步数计算
若第 $m$ 项和第 $n$ 项都存在，从第 $m$ 项出发，到第 $n$ 项相隔 $n-m$ 步。
当 $n>m$ 时，向后连续乘 $q$；当 $n<m$ 时，负指数表示反向连续除以 $q$，所以仍须有 $q\ne0$。
离散结构
项的位置是离散的，符号可以交替
通项中的 $q^{n-1}$ 记录相乘次数。若 $q=1$，各项都等于 $a_1$；若 $q<0$，每乘一次负数就改变一次符号，相邻项的符号交替。
再看 $a_1=2$、$q=-3$ 的例子。横轴表示序号 $n$，纵轴表示项值 $a_n$；每个点的坐标是 $(n,a_n)$。下图只画出前四项。
序号只取正整数或其中一段，所以数列图象是一组离散点。点之间没有其他项，不把它们连成连续指数函数曲线。
下标和相等，乘积就相等
同一个通项公式，还能比较不同两项的乘积。设第 $i,j,k,\ell$ 项都存在，且 $i+j=k+\ell$。
将第 $i$ 项与第 $j$ 项的通项相乘，两个首项相乘得到 $a_1^2$；同底数幂相乘，指数相加。
同样计算第 $k$ 项与第 $\ell$ 项的乘积，指数变为 $k+\ell-2$。
因为 $i+j=k+\ell$，两式中的指数相同，所以乘积相等。
不变的是各项从首项出发所经历的总乘法次数。
等比中项
平方关系之外，还要检查非零条件
乘积性质落到相邻三项上，就引出了等比中项。若实数 $a,G,b$ 依次组成等比数列，中间的 $G$ 就是 $a$ 与 $b$ 的等比中项。
等比数列各项非零，两个分母均不为零。按定义，相邻比相等。
把比值式两边乘以 $aG$，得到中间项的平方等于两端项的乘积。
反过来，当 $a,b,G$ 都非零且 $G^2=ab$ 时，两边除以 $aG$ 就回到相邻比相等的式子，因此 $G$ 确实是等比中项。
在实数范围内，必须先检查 $ab$ 的符号。当 $ab>0$ 时，平方关系给出两个非零实数解：
正、负两个值都满足 $G^2=ab$，也都能使 $a,G,b$ 组成等比数列，不能漏掉负值。
例如两端取 $2$ 与 $18$，中间既可以是 $6$，也可以是 $-6$：$2,6,18$ 的公比为 $3$，$2,-6,18$ 的公比为 $-3$。
核心结论
记住倍数，也记住步数与条件
等比数列的核心不是“出现了乘方”，而是每一步都按同一个非零公比变化。
$a_1\ne0$，$q\ne0$；$n$ 为实际存在的正整数下标。从首项到第 $n$ 项，恰好乘 $n-1$ 次 $q$。
换起点时，$a_n=a_mq^{n-m}$；若 $q<0$，相邻项符号交替。下标和相等的两对项，其乘积也相等。
实数等比中项存在的条件是 $ab>0$，正、负两个解都应保留。固定倍数、非零条件和相乘次数，要一起理解。