乘公比
让每个幂向后移动一位
等比数列的各项含有公比的连续乘方，直接相加时很难合并同类项。先把这些项按顺序写出来。
设首项为 $a_1$，公比为 $q$，实际具有前 $n$ 项，$n$ 是正整数。沿用等比数列的定义，$a_1\ne0$、$q\ne0$；$S_n$ 表示前 $n$ 项的和。
由通项公式 $a_n=a_1q^{n-1}$，把前 $n$ 项依次相加。末项的指数是 $n-1$。
等式两边同乘 $q$，每一项的指数都增加 $1$。项的先后结构不变，最后一项成为 $a_1q^n$。
原式中的 $a_1q,a_1q^2,\ldots,a_1q^{n-1}$，都能在乘公比后的式子中找到。除原式首项和新式末项外，其余项一一相同。
相减求和
同幂对齐，只留下两端
用原式减去乘公比后的式子。相同的中间项成批相消，留下的两端决定求和公式。
两式相减，中间同幂的项相消。$a_1$ 留在前面；$a_1q^n$ 来自被减的式子，因此带负号。
左边提取 $S_n$，右边提取 $a_1$。到这里没有做除法，$q=1$ 时也成立，但只得到 $0=0$。
当 $q\ne1$ 时，$1-q\ne0$，两边才能同除以 $1-q$，把 $S_n$ 单独留下。
把相同的项上下对齐，再用 $S_n$ 减去 $qS_n$：
| $S_n=$ | $a_1+$ | $a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}$ | |
|---|---|---|---|
| $qS_n=$ | $a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}$ | $+a_1q^n$ | |
| $S_n-qS_n=$ | $a_1$ | $-a_1q^n$ |
相消依靠的是两项相同，并不要求它们是正数。因此公式也适用于负公比。
末项形式
留下的是末项再乘一次公比
相减后出现的是 $a_1q^n$，而原数列的末项是 $a_n=a_1q^{n-1}$。两者相差一次乘 $q$，不能把它们直接混为一项。
把通项公式两边乘 $q$，指数由 $n-1$ 增加到 $n$。所以新式的末项是 $a_nq$。
在分子 $a_1-a_1q^n$ 中，用 $a_nq$ 替换 $a_1q^n$；使用条件仍是 $q\ne1$。
已知首项、公比和项数时，用含 $q^n$ 的形式更直接；已知首项、末项和公比时，用含 $a_nq$ 的形式不必另算 $q^n$。它们来自同一次相减，是同一个公式的两种写法。
特殊公比
公比为 1，回到相同项相加
当 $q=1$ 时，每一项都等于 $a_1$。这时不需要相消：前 $n$ 项就是 $n$ 个 $a_1$ 相加。
每一项相同，项数乘以每项的值，就是总和。
不能把 $q=1$ 代入分母为 $1-q$ 的公式，因为此时分母为 $0$。必须分开讨论的原因是除法条件，不是多背一条公式。
负公比
正负交替，也能照样求和
取 $a_1=3$、$q=-2$、$n=4$，前四项是 $3,-6,12,-24$。直接相加得到 $-15$，再用公式核对。
代入首项 $3$、公比 $-2$ 和项数 $4$。负公比要连同负号一起乘方。
先算 $(-2)^4=16$，分母 $1-(-2)=3$，得到 $-15$，与直接相加一致。
负公比不会破坏同幂项的相消。这个例子与前面的推导相吻合，公式的条件不是 $q>0$。
核心结论
先看公比，再选公式
$S_n$ 是前 $n$ 项和，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是末项，$q$ 是公比。数列实际具有前 $n$ 项，$n\in\mathbb N^*$，且 $a_1\ne0$、$q\ne0$。
公比为 1
每项相同，直接用项数乘首项。
公比不为 1
正、负公比都适用。乘公比后相减，中间项消去，留下 $a_1-a_1q^n$；其中 $a_1q^n=a_nq$，必须比末项再多乘一次 $q$。