题目与对应
把座位数对应到数列
某剧场共有 20 排座位，第 1 排有 38 个座位，以后每排都比前一排多 2 个座位。这个剧场共有多少个座位？
先明确每一项记录什么，再把条件和目标对应起来。
| 对应对象 | 在这道题中的含义 |
|---|---|
| 项 $a_n$ | 第 $n$ 排的座位数，首项 $a_1=38$。 |
| 项数 | 共 20 排，所以计入 20 项。 |
| 公差 $d$ | 每排多 2 个座位，$d=2$。 |
| 和 $S_{20}$ | 全部 20 排的座位总数。 |
判断等差的依据是相邻数量之差始终为 2，不是座位数“越来越多”。若每排分别增加 2、3、4 个，虽然也越来越多，却不是等差数列。
排的编号与座位数也不能混淆：第一项是 38，不是 1。
计算总数
先求末排，再求总数
已知首项、公差和项数，先用通项公式求末排，再把首末数量代入求和公式。
$$a_{20}=38+(20-1)\times2=76$$
20 排之间有 19 个间隔，所以加 19 次公差。
$$S_{20}=\frac{20(38+76)}2=1140$$
首排 38 个、末排 76 个，共 20 排，代入等差数列求和公式。
所以剧场共有 1140 个座位。各项都是一排座位的完整数量，没有重复计入，单位也一致，相加才得到全部座位数。
20 是排数，76 是末排座位数，1140 才是总数。
选择方法
根据所求目标选择公式
确认数量组成等差数列后，不同问题的切入点不同。
| 所求目标 | 选择方法 |
|---|---|
| 某项数量 | 用通项公式：首项加上“间隔数乘公差”。 |
| 公差 | 两个位置的数量差除以位置差，得到每一步的变化量。 |
| 项数 | 首末都计入时，用“末项减首项，除以公差，再加 1”；要求 $d\ne0$，结果为正整数。 |
| 累计总量 | 确定实际计入的项数和首末数量，再用前项和公式。 |
求公差时，两处数量相减与位置相减的顺序要一致。若 $d=0$，各项相等，仅凭首末数量无法确定项数。
求和还要检查：各项是否确实是可相加的同类贡献；位置或高度等数值的和，不一定是题目要找的总量。
核心结论
明确目标 → 确定对应 → 确认固定差 → 选择公式 → 检查结果。
检查项数、计入范围和单位，让公式中的每个量都与题目中的对象对应。