更新规则
先乘一个数，再增加固定量
用 $x_n$ 表示第 $n$ 步完成后的状态，$x_0$ 是初始状态。每一步先把上一状态乘以常数 $a$，再增加常数 $b$。
这条规则从第 0 步开始使用，即整数 $n\geqslant0$。
$a$ 是更新倍率，$b$ 与状态 $x_n$ 使用同一单位。每步时长和操作顺序也要固定；“先增加，再乘倍率”是另一条规则。
不变状态
先找更新一次仍不变的数
用 $L$ 表示一个更新后保持原值的状态。把它代入同一条更新规则，结果必须还是 $L$。
更新前后相等，这样的 L 称为不动点。
把右边的 aL 移到左边，并提取 L。
当分母不为零时，两边除以 1−a。
不动点不等于一定会接近的值。它只保证从 $L$ 出发会一直停在 $L$；从其他状态出发会怎样，还要看与它的差。
偏差变化
离 L 的差，每步乘一次 a
以下先讨论 $a\ne1$。把状态与不动点的差 $x_n-L$ 称为偏差。用更新式减去不动点方程，就能看清偏差如何变化。
分别减去两个等式的左右两边。
两个 b 抵消，再提出公因数 a。
从初始偏差出发，更新 n 次，就乘 n 次 a。
两边加上 L，得到第 n 步的状态；第 0 步仍用给定的 x₀。
因此，要判断状态会不会接近 $L$，只需判断偏差会不会逐步接近 $0$。
趋近条件
倍率绝对值小于 1，偏差才会缩小
当 $|a|<1$，连续乘以 $a$ 会使偏差的绝对值趋近于 $0$。于是，不论初始状态如何，都有：
箭头表示随着步数增加不断趋近，不代表某一步一定到达。
- $0<a<1$：偏差不改变正负，状态从同一侧逐步接近 $L$。
- $-1<a<0$：偏差正负交替，状态在 $L$ 两侧交替接近。
- $a=0$：第一次更新就得到 $b$，此后保持在 $L=b$。
其他倍率会怎样？
若一开始就有 $x_0=L$，状态始终不变。若 $x_0\ne L$，$a=-1$ 会使偏差等幅交替；$|a|>1$ 会使偏差的绝对值增大，都不会接近 $L$。
当 $a=1$，更新变为 $x_{n+1}=x_n+b$：若 $b=0$，每个初始状态都不变；若 $b\ne0$，每步都增加同一个非零量，没有不动点。
具体过程
每步保留 60%，再增加 8
设初始状态 $x_0=0$。每步先保留上一状态的 $60\%$，再增加 8 个单位，倍率和增加量保持不变。
把 60% 写成 0.6，先乘后加。
移项得到 0.4L=8，所以不动点是 20。
用初始偏差 0−20，连续乘 n 次 0.6（n≥1）。
整理后，每一步距离 20 还差 20(0.6)ⁿ。
因为 $0<0.6<1$，$(0.6)^n$ 不断趋近于 0，状态就从 0 开始逐步接近 20。但有限步内 $(0.6)^n$ 始终大于 0，所以每个有限步的状态都小于 20，不会恰好等于 20。
核心结论
先找不动点，再判断是否趋近
找不动点：令更新前后相等。当 $a\ne1$ 时，得到 $L=b/(1-a)$。
判断趋近：每次更新，偏差都乘以 $a$。当 $|a|<1$，任意初始偏差都趋近于 0，状态共同趋近于 $L$。
检查实际条件：每步的 $a,b$ 和时长保持不变，且计算出的状态始终在实际允许的范围内。
若倍率、增加量或时间间隔随步骤变化，应重新建立递推关系，不能直接沿用上述稳定值和判断条件。