正交分解与向量坐标

正交分解与单位向量

把向量分解到两个互相垂直的方向上，叫作正交分解。“正交”就是垂直；模为 $1$ 的向量叫作单位向量。

在平面直角坐标系中，沿 $x$ 轴、$y$ 轴正方向的单位向量分别记作 $\vec{i}$、$\vec{j}$。它们互相垂直，且 $|\vec{i}|=1$、$|\vec{j}|=1$，组成一组正交单位基底。

仅仅互相垂直，叫正交基底；再要求模都是 $1$，才是正交单位基底。下面的直角坐标表示采用后者。

两个分解系数就是坐标

由平面向量基本定理，每个向量都能唯一写成

把这两个系数按“先水平、后竖直”的顺序记录，就记作 $\vec{a}=(x,y)$。$x,y$ 是数，$x\vec{i},y\vec{j}$ 才是两个分向量。

例如，$\vec{a}=3\vec{i}+2\vec{j}$ 表示向右三份、向上两份，坐标为 $(3,2)$；$\vec{b}=2\vec{i}-\vec{j}$ 表示向右两份、向下一份，坐标为 $(2,-1)$。负坐标表示反向，不是负长度。

特别地，$\vec{i}=(1,0)$、$\vec{j}=(0,1)$、$\mathbf0=(0,0)$。

点的坐标与向量坐标

若从原点 $O$ 出发，向量 $\overrightarrow{OP}$ 的终点为 $P(3,2)$，那么

点 $P$ 的坐标描述位置，向量 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标描述位移；因为起点是原点，这两对数字相同。

把箭头整体平移，位移不变，向量坐标也不变；但终点的位置会改变。因此，起点不是原点时，不能直接把终点坐标当成向量坐标。下一篇会用“终点减起点”求它。

坐标依赖所选基底

在 $\vec{i},\vec{j}$ 下，$2\vec{i}-\vec{j}$ 的坐标是 $(2,-1)$。若改用 $\vec{e}_1=2\vec{i}$、$\vec{e}_2=\vec{j}$，则

同一向量在新基底下的坐标变为 $(1,-1)$，因为水平方向的一份变长了。向量没有改变，变的是记录它所用的基准。

本章后续未特别说明时，都使用同一个平面直角坐标系中的正交单位基底。

核心结论