数量积的坐标表示

对应坐标乘积之和从哪里来

取互相垂直、模都为 $1$ 的基底 $\vec{i},\vec{j}$。由数量积的定义，

$$ \vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{j}\cdot\vec{j}=1, \qquad \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{i}=0. $$

同一单位方向与自身的数量积为 $1$，两个垂直方向之间的数量积为 $0$。

设 $\vec{a}=(x_1,y_1)$、$\vec{b}=(x_2,y_2)$，先写成基底分解：

$$ \vec{a}\cdot\vec{b} =(x_1\vec{i}+y_1\vec{j}) \cdot(x_2\vec{i}+y_2\vec{j}). $$

用分配律展开，共有四个配对：

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2(\vec{i}\cdot\vec{i})+x_1y_2(\vec{i}\cdot\vec{j})+y_1x_2(\vec{j}\cdot\vec{i})+y_1y_2(\vec{j}\cdot\vec{j}). $$

两个交叉项因垂直而为零，另外两个基底数量积等于 $1$，所以

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2. $$

结果是一个数。例如，$(1,2)\cdot(2,-1)=1\times2+2\times(-1)=0$。这个简式依赖正交单位基底，不能不加区别地用于任意斜基底。

令 $\vec{a}=(x,y)$。与自身作数量积，便有 $\vec{a}\cdot\vec{a}=x^2+y^2$。又因为 $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$，取非负平方根得到

$$ |\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}. $$

例如，$(3,4)$ 的模为 $\sqrt{9+16}=5$，这也对应直角三角形的勾股关系。

若 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，先用终点减起点求出 $\overrightarrow{AB}$，再求模：

$$ AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. $$

两点距离就是连接它们的向量的模。例如，$A(1,1)$、$B(4,5)$，两坐标之差为 $3,4$，距离为 $5$。

向量 $\vec{a}=(3,4)$ 的水平、竖直分量构成两条直角边。模是斜边长：$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

两个非零向量垂直，当且仅当数量积为零。因此

$$ \vec{a}\perp\vec{b} \quad\Longleftrightarrow\quad x_1x_2+y_1y_2=0. $$

前面的 $(1,2)$ 与 $(2,-1)$ 都非零，数量积又为零，所以互相垂直。若有零向量，不能仅凭计算结果为零作这一判断。

这里不要与共线条件混淆：共线用 $x_1y_2-y_1x_2=0$，非零向量垂直用 $x_1x_2+y_1y_2=0$，两者描述不同的关系。

对两个非零向量，把数量积与模的坐标式代入夹角公式，得到

$$ \cos\theta= \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}= \dfrac{x_1x_2+y_1y_2} {\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}. $$

先算分子的数量积，再算分母的两个模，最后由余弦值确定 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 内的夹角。非零条件保证分母不为零。

例如，$\vec{a}=(1,0)$、$\vec{b}=(1,1)$ 的数量积为 $1$，模分别为 $1,\sqrt2$，所以

$$ \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}. $$

因此 $\theta=45^\circ$。

在平面直角坐标系中，数量积等于对应坐标乘积之和：$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$。向量与自身的数量积是模的平方，两点距离就是连接它们的向量的模。

对两个非零向量，数量积为零等价于垂直；数量积除以两个模之积，得到夹角的余弦。