复数的几何意义

从两个实系数到复平面

建立平面直角坐标系，把横轴叫作实轴，纵轴叫作虚轴。对复数

取复平面内的点 $Z(a,b)$。实部 $a$ 决定横坐标，虚部 $b$ 决定纵坐标。反过来，每个点 $Z(a,b)$ 也只对应一个复数 $a+bi$，因此复数与复平面内的点一一对应。

实轴上的点满足 $b=0$，表示实数；虚轴上除原点外的点满足 $a=0,b\ne0$，表示纯虚数。原点表示复数 $0$，虽然它同时在两条坐标轴上，却不是纯虚数。

点与位置向量给出同一组坐标

点 $Z(a,b)$ 唯一确定从原点出发的位置向量

反过来，每个平面向量都可以平移到以原点为起点，并由终点坐标确定。因此还有一一对应

复数、点和向量并不是同一种对象；“一一对应”只表示它们共享同一对实数坐标，可以在代数语言与几何语言之间互相翻译。

复数的模就是到原点的距离

与复数 $z=a+bi$ 对应的位置向量的模，叫作复数 $z$ 的模，记作 $|z|$。由平面向量的模长公式，

所以 $|z|$ 就是点 $Z$ 到原点 $O$ 的距离。模总是非负，并且 $|z|=0$ 当且仅当 $a=b=0$，也就是 $z=0$。复数一般不比较大小，但模是非负实数，可以比较大小。

共轭复数是关于实轴的镜像

若 $z=a+bi$，把虚部 $b$ 变为相反数，得到的复数

叫作 $z$ 的共轭复数。它们对应的点分别是 $Z(a,b)$ 与 $Z'(a,-b)$：横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以两点关于实轴对称。对称不改变到原点的距离，因此 $|\overline z|=|z|$。当 $b=0$ 时，点本来就在实轴上，此时 $\overline z=z$。

例如 $z=-3+2i$ 对应点 $Z(-3,2)$ 和位置向量 $\overrightarrow{OZ}=(-3,2)$，它的模为 $\sqrt{13}$；共轭复数是 $\overline z=-3-2i$，对应点 $Z'(-3,-2)$，正好是 $Z$ 关于实轴的对称点，模仍为 $\sqrt{13}$。

核心结论