先看一个没有实根的方程
考虑 $x^2+2x+5=0$。把常数移项，再在两边加 $1$ 配成完全平方：
$$
x^2+2x=-5,\qquad (x+1)^2=-4.
$$
实数的平方不能等于 $-4$，但 $(2i)^2=-4$。因此把右边写成 $(2i)^2$，移项并用平方差分解：
$$
(x+1-2i)(x+1+2i)=0.
$$
复数中非零数都有倒数，所以乘积为零时至少有一个因子为零。分别令两个因子为零，得到
$$
x=-1+2i\quad\text{或}\quad x=-1-2i.
$$
两根的实部相同、虚部互为相反数，正是一对共轭复数。
从配方得到一般公式
设 $ax^2+bx+c=0$，其中 $a,b,c$ 都是实数且 $a\ne0$。两边乘 $4a$，把常数项移到右边：
$$
4a^2x^2+4abx=-4ac.
$$
两边加 $b^2$，左边就能配成完全平方。记 $\Delta=b^2-4ac$，得到
$$
(2ax+b)^2=b^2-4ac=\Delta.
$$
当 $\Delta<0$ 时，令 $m=\sqrt{-\Delta}>0$，则 $\Delta=-m^2=(mi)^2$。移项后用平方差分解：
$$
(2ax+b-mi)(2ax+b+mi)=0.
$$
分别令两个因子为零，再除以非零实数 $2a$，得到
$$
x_{1,2}=\dfrac{-b\pm mi}{2a}
=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.
$$
两个根的实部都是 $-\dfrac b{2a}$，虚部互为相反数且不为零，因此它们是两个不同的共轭复根。这个结论以方程的系数都是实数为前提。
判别式的三种情形
扩充到复数并不改变原有的实根，只是补上了 $\Delta<0$ 的情形。
| 判别式 | 根的情况 |
|---|---|
| $\Delta>0$ | 两个不同的实根 |
| $\Delta=0$ | 两个相等的实根，即一个二重根 |
| $\Delta<0$ | 两个不同的共轭复根 |
例如前面的 $x^2+2x+5=0$ 有 $\Delta=-16$。代入公式：
$$
x=\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i.
$$
这与直接配方得到的结果一致。“没有实根”并不等于“在复数范围内也没有根”。
核心结论
对实系数一元二次方程，当 $\Delta<0$ 时，把负判别式写成 $(i\sqrt{-\Delta})^2$，仍可沿着配方、分解和求根的步骤得到解。
新增的两个根互为共轭；$\Delta\ge0$ 时的实根结论保持不变。