共轭为什么能让分母变成实数
设除数为 $c+di\ne0$，其中 $c,d$ 是实数，它的共轭是 $c-di$。用平方差公式展开：
$$
(c+di)(c-di)=c^2-(di)^2.
$$
因为 $(di)^2=d^2i^2=-d^2$，减去它就变成加 $d^2$，所以
$$
(c+di)(c-di)=c^2+d^2.
$$
除数非零意味着 $c,d$ 不同时为零，因此 $c^2+d^2>0$。共轭乘积既是实数，又不会成为零，这正是它能用来处理分母的原因。
分子、分母同乘分母的共轭
由上面的乘积可知，$\dfrac{c-di}{c^2+d^2}$ 与 $c+di$ 的乘积为 $1$，所以它是 $c+di$ 的倒数。除以 $c+di$，等于乘这个倒数，也就是
$$
\dfrac{a+bi}{c+di}
=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}.
$$
分子用分配律展开，得到 $ac-adi+bci-bdi^2$；再用 $i^2=-1$ 合并，分子就是 $(ac+bd)+(bc-ad)i$。分别除以实数分母：
$$
\dfrac{a+bi}{c+di}
=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i.
$$
实际计算时不必背这条长式，记住“同乘分母的共轭”即可。共轭只改变虚部的符号，不是把整个复数变成相反数。
算出商，再乘回去核对
计算 $\dfrac{1+2i}{2-3i}$。分母的共轭是 $2+3i$，因此
$$
\dfrac{1+2i}{2-3i}
=\dfrac{(1+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}.
$$
分子按上一篇的乘法展开为 $-4+7i$，分母是 $2^2+3^2=13$，所以
$$
\dfrac{1+2i}{2-3i}=\dfrac{-4+7i}{13}
=-\dfrac4{13}+\dfrac7{13}i.
$$
商乘除数应该还原被除数。展开并使用 $i^2=-1$，实数项合为 $\dfrac{-8+21}{13}=1$，含 $i$ 的项合为 $\dfrac{14+12}{13}i=2i$，于是
$$
(2-3i)\left(-\dfrac4{13}+\dfrac7{13}i\right)=1+2i.
$$
这同时核对了结果的实部和虚部。
核心结论
除数必须非零。分子、分母同乘分母的共轭后，分母成为正实数，分子按复数乘法展开。
最后整理为实部加虚部乘 $i$ 的形式；商乘除数，应当还原被除数。