先展开，再用 $i^2=-1$
设 $a,b,c,d$ 都是实数。用分配律，把第一个括号中的每一项乘第二个括号中的每一项：
$$
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2.
$$
其中 $bdi^2=-bd$ 是实数，另两个含 $i$ 的项合并，得到
$$
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
$$
实部是 $ac-bd$，虚部是 $ad+bc$。这不是“实部分别乘、虚部分别乘”，因为两个含 $i$ 的项相乘后会进入实部。
用一个乘积看清符号
计算 $(1+2i)(2+3i)$，先把四个乘积写全：
$$
(1+2i)(2+3i)=2+3i+4i+6i^2.
$$
把 $6i^2$ 换成 $-6$，再合并实数项与含 $i$ 的项：
$$
2+3i+4i-6=-4+7i.
$$
负号来自 $i^2=-1$，不是在最后凭记忆补上的。
$i$ 的幂每四次重复
从 $i^2=-1$ 继续乘 $i$，有 $i^3=-i$；再乘一次，$i^4=(-i)i=-i^2=1$。因此最初四个结果是
| 指数 | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $i$ 的幂 | $1$ | $i$ | $-1$ | $-i$ |
每多乘四个 $i$，就是多乘一个 $i^4=1$，结果不变。对非负整数 $n$，写成 $n=4q+r$，其中 $q$ 为非负整数，$r$ 是 $0,1,2,3$ 之一，则
$$
i^n=(i^4)^q i^r=i^r.
$$
所以只需看指数除以 $4$ 的余数。例如 $2026=4\times506+2$，余数为 $2$，故 $i^{2026}=i^2=-1$。
核心结论
复数乘法按“展开—替换 $i^2$—合并”计算，不需要另外记一套乘法规则。
因为 $i^4=1$，$i$ 的非负整数次幂只由指数除以 $4$ 的余数决定，依次对应 $1,i,-1,-i$。