复数的三角表示

用模和方向确定坐标

设 $z=a+bi\ne0$，模为 $r=\sqrt{a^2+b^2}>0$。从正实轴转到对应向量，以逆时针为正，记转角为 $\theta$。

把向量长度除以 $r$，终点落在单位圆上。由单位圆上的正弦、余弦定义，

$$ \cos\theta=\dfrac ar,\qquad \sin\theta=\dfrac br. $$

两边乘 $r$，得到 $a=r\cos\theta$、$b=r\sin\theta$。代回 $z=a+bi$，提取 $r$：

$$ z=r(\cos\theta+i\sin\theta). $$

这就是复数的三角形式：$r$ 是模，$\theta$ 是它的一个辐角，也就是对应向量的方向角。写三角形式时，要求 $r>0$，正弦和余弦使用同一个角。

转过一整周会回到同一方向，所以若 $\theta_0$ 是一个辐角，所有辐角就是

$$ \theta=\theta_0+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. $$

这里的 $2k\pi$ 表示整数个整周。为了选出唯一代表，本篇约定取 $[0,2\pi)$ 内的角，称为辐角主值；这是区间约定，不是方向本身发生了改变。

例如，正实轴的主值是 $0$，不能再取 $2\pi$；正虚轴、负实轴、负虚轴的主值依次为 $\dfrac\pi2$、$\pi$、$\dfrac{3\pi}{2}$。零复数对应原点，没有方向，因而没有辐角。

以 $z=1-i$ 为例，先求模：$r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$。再看坐标 $(1,-1)$：位于第四象限，横、纵坐标绝对值相等，所以可以取 $\theta=-\dfrac\pi4$。

代入三角形式：

$$ 1-i=\sqrt2\left(\cos\left(-\dfrac\pi4\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi4\right)\right). $$

若要求本篇约定的主值，就给 $-\dfrac\pi4$ 加一整周，得到 $\dfrac{7\pi}{4}$。这两个角表示同一方向。

反过来，把三角形式转回代数形式，只需计算 $r\cos\theta$ 和 $r\sin\theta$；这里分别得到 $1$ 和 $-1$，所以仍是 $1-i$。确定辐角时要同时看坐标的正负，不能只凭一个正切值忽略象限。

蓝色向量的长度是 $\sqrt2$，紫色弧线表示从正实轴顺时针转过 $\dfrac\pi4$，即 $\theta=-\dfrac\pi4$。加上一整周得到主值 $\dfrac{7\pi}{4}$，方向不变。

非零复数可写成 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$：模 $r$ 记录长度，辐角 $\theta$ 记录方向。

辐角相差整数个整周时表示同一方向；本篇选取 $[0,2\pi)$ 内的主值。零复数没有辐角。