本节先从代数运算推出 $(a-b)^{3}$ 的标准展开式，再用立方体的体积切分解释这个公式。
立方表示三个相同因式相乘。运算时先处理前两个括号，再把结果与第三个括号相乘。
先把立方写成三个相同因式相乘，这是展开运算的起点。
然后用完全平方公式展开前两个括号，并保留第三个括号。
接着使用乘法分配律，让 $a^{2}$、$-2ab$、$b^{2}$ 分别乘第三个括号。
把三个乘积分别展开，得到六项；同类项留到下一步合并。
最后合并同类项：$-a^{2}b-2a^{2}b=-3a^{2}b$，$2ab^{2}+ab^{2}=3ab^{2}$。
通过以上代数运算，可以得到差的立方展开式。两个中间项的系数 $3$ 来自同类项的合并；正负号则来自展开时各项与 $-b$ 相乘的结果。下面再从体积切分的角度说明这四项的结构来源。
在几何模型中，取 $a>b>0$，这样 $a$、$b$、$a-b$ 都可以表示立方体的边长。但是对于代数式并没有要求。
差的立方可以看作一个体积切割问题。从边长为 $a$ 的立方体出发，沿长、宽、高三个方向各减去 $b$，剩下部分就是边长都是 $a-b$ 的立方体。
而在拆去的过程中：先减去三片 $a^{2}b$，但这些部分有重合，必须加回三块 $ab^{2}$；加回之后，最角上的 $b^{3}$ 又被多算了一次，所以还要再减去 $b^{3}$。
整体是边长为 $a$ 的立方体，体积是 $a^{3}$。每条边都减去一段 $b$ 后，留下的内侧立方体边长就是 $a-b$，我们要计算的目标体积就是 $(a-b)^{3}$。
从长、宽、高三个方向各拆去一片厚度为 $b$ 的板块。每片板块的底面面积是 $a^{2}$，体积就是 $a^{2}b$。三个方向各有一片，所以先减去 $3a^{2}b$。
但三片板块之间存在重合。直接减去三片板块，会把这些重合部分多减，因此还需要修正。
相邻两片板块的重合部分被重复减掉了。每个重合部分的三条边分别是 $a$、$b$、$b$，体积是 $ab^{2}$。这样的重合共有三处，所以要加回 $3ab^{2}$。
三个方向共同重合的最角上是一块体积为 $b^{3}$ 的小立方体。加回三块 $ab^{2}$ 后，这块 $b^{3}$ 被多算了一次，所以还要再减去 $b^{3}$。
几何角度能够帮助我们看见四项的结构来源：从整体 $a^{3}$ 出发，减去三片 $a^{2}b$，加回三块重合的 $ab^{2}$，最后再减去角上的 $b^{3}$。
$(a-b)^{3}$ 由三个 $a-b$ 相乘展开，再合并同类项。
从 $a^{3}$ 中先减去三片 $a^{2}b$，再加回三块重合的 $ab^{2}$，最后减去角上的 $b^{3}$，就得到边长为 $a-b$ 的剩余立方体。