1挖去小立方体
从大立方体中挖去小立方体
大立方体的体积是 $a^{3}$，挖去的小立方体体积是 $b^{3}$，所以剩余体积是 $a^{3}-b^{3}$。
$a^{3}-b^{3}$
公式推导
立方差要把两个立方的差 $a^{3}-b^{3}$ 写成乘积形式。先根据原式等于 $0$ 时的条件寻找一次因子，再用未知系数确定剩下的二次因子。
$$a^{3}-b^{3}$$
目标是把这个立方差写成两个因子的乘积。
$$\begin{aligned} a=b \Rightarrow a^{3}-b^{3}=0 \\ a=b \Rightarrow a-b=0 \end{aligned}$$
当 $a=b$ 时，原式与 $a-b$ 同时为 $0$。这提示我们先尝试把 $a-b$ 作为一次因子，再用乘法展开确认。
$$a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+kab+b^{2})$$
剩下的应是二次式。首项必须是 $a^{2}$，末项必须是 $b^{2}$，中间项的未知系数先记作 $k$。
$$\begin{aligned} (a-b)(a^{2}+kab+b^{2}) \\ = a^{3}+ka^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-kab^{2}-b^{3} \end{aligned}$$
让 $a$ 和 $-b$ 分别乘二次因子的三项，共得到六项；$-b$ 乘出的三项均带负号。
$$= a^{3}+(k-1)a^{2}b+(1-k)ab^{2}-b^{3}$$
合并同类项：两类混合项的系数分别变成 $k-1$ 和 $1-k$。
$$\begin{aligned} k-1=0，1-k=0，\text{所以} k=1 \end{aligned}$$
原式没有 $a^{2}b$ 和 $ab^{2}$。要让两类混合项抵消则系数为 $0$。
$$a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$
把 $k=1$ 代回二次因子，得到立方差的分解公式。中间的 $+ab$ 使乘回去时出现的两类混合项正好抵消。
二次因子中的 $+ab$ 使乘回去时出现的 $a^{2}b$ 和 $ab^{2}$ 分别抵消，只留下 $a^{3}-b^{3}$。
几何解析
在几何模型中，取 $a>b>0$，这样 $a$、$b$、$a-b$ 都可以表示立体图形的边长。但是对于代数式并没有要求。
立方差可以看作一个体积拆分问题。从边长为 $a$ 的大立方体中挖去边长为 $b$ 的小立方体，剩余立体图形的体积就是 $a^{3}-b^{3}$。把剩余体积拆成三块，可以看见它们共有的长度 $a-b$。
2拆成三块
把剩余的 L 形立体图形拆成三块
三块长方体都有一条长度为 $a-b$ 的边。另外两条边组成的面积分别是 $a^{2}$、$ab$、$b^{2}$。
$\begin{aligned} \text{共同长度} = a-b \end{aligned}$
3三块相加
把三块长方体的体积相加
三块体积分别是 $a^{2}(a-b)$、$ab(a-b)$、$b^{2}(a-b)$，它们合起来就是原来的剩余体积。
$a^{3}-b^{3} = a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)$
4提取共同长度
提取三块共有的长度 $a-b$
三个乘积都含有因子 $a-b$。把它提出来，另外两条边组成的面积相加，得到 $a^{2}+ab+b^{2}$。
$a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)$$= (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
几何角度能帮助我们看见两个因子的来源：$a-b$ 是三块剩余体积共有的长度，$a^{2}+ab+b^{2}$ 是与它相乘的面积之和。
核心结论
$a^{3}-b^{3} =$
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
1
代数路径
$a-b$ 是可以尝试的一次因子，二次因子中的 $+ab$ 使乘积里的两类混合项正好抵消。
2
几何路径
$a-b$ 是三块剩余体积共有的长度，$a^{2}+ab+b^{2}$ 是另外两条边组成的面积之和。