整体的立方
$(a+b)^{3}，(a-b)^{3}$括号整体的三次方，表示三个相同因式相乘。
结构判断
判断立方结构时，首先要确定三次方作用的对象。
两个立方的和或差
$a^{3}+b^{3}，a^{3}-b^{3}$两个完整立方相加或相减，需要寻找一次因子。
$(a+b)^{3}$ 表示三个相同的 $a+b$ 相乘，$a^{3}+b^{3}$ 表示两个立方相加。虽然它们都含有加号和三次方，但三次方作用的对象不同，后续变形方向也不同。
整体的立方
括号整体的三次方表示三个相同因式相乘：
$$\begin{aligned} (a\pm b)^{3} = (a\pm b)(a\pm b)(a\pm b) \end{aligned}$$
顺着乘法展开并合并同类项，得到：
和的立方
$(a+b)^{3} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$差的立方
$(a-b)^{3} = a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$两个公式的四项结构相同，系数都是 $1,3,3,1$。和的立方中各项都为正；差的立方中，$-b$ 参与相乘的次数决定各项符号，因此符号依次为正、负、正、负。
这一类公式的方向是从三个相同因式的乘积变成四项多项式。
利用 0
因式分解的目标是把一个多项式写成几个因式的乘积。如果多项式 $P(a)$ 含有一次因子 $a-r$，就可以写成：
$$P(a)=(a-r)Q(a)$$
当 $a=r$ 时，一次因子 $a-r$ 等于 $0$，整个乘积也等于 $0$。所以，若 $a-r$ 是 $P(a)$ 的因子，必然有 $P(r)=0$。
反过来，多项式除以 $a-r$ 时，余数就是 $P(r)$。如果找到 $P(r)=0$，余数为 $0$，说明 $P(a)$ 可以被 $a-r$ 整除，因此 $a-r$ 就是它的一次因子。
$$\begin{aligned} P(r)=0 \Longleftrightarrow a-r \text{是} P(a) \text{的因子} \end{aligned}$$
这就是因式定理。
这里把原式暂时设为 $0$，是为了观察哪些取值会使它为 $0$，再由这个取值写出对应的一次因子。原多项式本身仍然保持不变。
什么时候适合使用
- 当前目标是因式分解。
- 原式可以看作某个字母的多项式，其他字母暂时看作已知量。
- 我们正在寻找形如 $a-r$ 的一次因子。
如果任务是展开 $(a+b)^{3}$ 或 $(a-b)^{3}$，直接按乘法展开即可；如果多项式各项已经有明显的公因式，先提取公因式更直接。当我们需要继续因式分解，并且要寻找一次因子时，再考察原式在什么条件下等于 $0$。
两个立方
$a^{3}+b^{3}$ 和 $a^{3}-b^{3}$ 的目标是写成因式乘积。一次因子可以根据使原式等于 $0$ 的取值寻找。
$a^{3}+b^{3}$
当 $a=-b$ 时，原式与 $a+b$ 同时为 $0$，可以尝试一次因子 $a+b$。
$a^{3}-b^{3}$
当 $a=b$ 时，原式与 $a-b$ 同时为 $0$，可以尝试一次因子 $a-b$。
找到一次因子后，剩下的因子应是二次式。先统一写成 $a^{2}+kab+b^{2}$，再通过乘法展开确定 $k$。
$(a+b)(a^{2}+kab+b^{2})$
$=a^{3}+(k+1)a^{2}b+(k+1)ab^{2}+b^{3}$。原式没有 $a^{2}b$ 和 $ab^{2}$。要让两类混合项消失，则系数必须为 $0$，所以 $k=-1$。
$(a-b)(a^{2}+kab+b^{2})$
$=a^{3}+(k-1)a^{2}b+(1-k)ab^{2}-b^{3}$。原式同样没有 $a^{2}b$ 和 $ab^{2}$。要让两类混合项消失，则系数必须为 $0$，所以 $k=1$。
立方和
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$立方差
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$这一类公式的方向是从两个立方的和或差变成两个因式的乘积。
公式比较
和的立方 · 展开
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$差的立方 · 展开
$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$立方和 · 因式分解
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$立方差 · 因式分解
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$这里最需要分清的是 $(a+b)^{3}$ 与 $a^{3}+b^{3}$。前者的三次方作用于整个括号，展开后有四项；后者由两个立方相加，分解后得到两个因式。
判断流程
1
看三次方是否写在括号外。如果是 $(a+b)^{3}$ 或 $(a-b)^{3}$，就把括号整体写成三个相同因式，再展开并合并同类项。
2
看是否需要因式分解，并寻找一次因子。若各项有明显的公因式，先提取公因式。若没有明显的公因式，可以把原式看作某个字母的多项式，尝试考察哪个取值使原式为 $0$，再写出对应的一次因子。
3
对立方和与立方差确定一次因子。对于 $a^{3}+b^{3}$，取 $a=-b$，可以确定一次因子 $a+b$；对于 $a^{3}-b^{3}$，取 $a=b$，可以确定一次因子 $a-b$。
4
检查变形结果。展开公式要检查四项是否完整、系数是否为 $1,3,3,1$、符号是否来自实际乘法。分解公式要把两个因式乘回去，检查混合项是否抵消，最终是否只剩原来的两个立方。
核心结论
判断立方公式时，先确定三次方作用的对象。整体的立方沿乘法展开，两个立方的和或差沿因式分解处理。寻找一次因子时，可以把原式看作某个字母的多项式，通过使原式为 $0$ 的取值找到对应的一次因子。公式的系数和符号都来自乘法结构，可以通过展开或乘回去检查。