分式的意义、条件与约分

1. 分式的意义

普通分数 $\dfrac23$ 表示 $2\div3$。在代数中，分子和分母可以用整式表示。例如：

像 $\dfrac2x$ 这样，分子、分母都是整式，并且分母中含有字母的式子，叫做分式。

一般地，分式写成：

其中 $A$、$B$ 是整式，分母 $B$ 中含有字母。判断一个式子是不是分式，关键看分母：$\dfrac2x$ 是分式；$\dfrac x2$ 虽然也有分数线，但分母不含字母，按照分式的定义不属于分式。

分数线表示除法，分母就是除数。除数不能为 $0$，所以分式必须满足：

对于 $\dfrac2x$，分母是 $x$，因此：

$x=0$ 时分母等于 $0$，所以不能代入。认识一个分式时，既要看它的形式，也要同时写出分母不为 $0$ 的条件。

2. 约分

普通分数的约分可以写成：

这里把分子、分母同时除以共同因数 $2$，分数的值没有改变。

一般地，如果分子可以写成 $AC$，分母可以写成 $BC$，那么它们的共同因子就是 $C$。在 $B\ne0$、$C\ne0$ 时：

这就是约去共同因子 $C$。共同因子不能为 $0$，因为分子、分母不能同时除以 $0$。

只有整个分子和整个分母的共同因子才能约去，加减式中的某一项不能单独约去。例如：

这里的 $x$ 是分子、分母的共同因子，可以约去。而在：

中，分子是 $x+1$，$x$ 只是其中的一项，不是整个分子的因子，因此不能与分母中的 $x$ 约分。

3. 含字母的分式约分

含字母的分式在约分前先写出原分母条件，再寻找共同因子。

先看共同因子已经能够直接看出的情况：

原分母是 $9x$。为了使分母不为 $0$，需要 $x\ne0$。分子、分母都含有共同因子 $3x$：

在 $x\ne0$ 的条件下，可以约去 $3x$：

如果共同因子藏在多项式中，先进行因式分解。例如：

最后要记住的内容