二次根式的意义与化简

1. 算术平方根

下面两个结论都与平方有关：

$\sqrt9$ 表示一个确定的非负数，方程 $x^2=9$ 则要找出所有满足条件的 $x$。分清这两个对象，才能正确处理 $\sqrt{a^2}$ 中隐藏的正负信息。

根号不是“把平方取消掉”的机械符号。二次根号表示的是算术平方根，而算术平方根从定义开始就受到非负性控制。

对于非负数 $A$，$\sqrt A$ 表示平方等于 $A$ 的那个非负数。因此：

例如，$3^2=9$，$(-3)^2$ 也等于 $9$，但算术平方根符号只取非负的那个值：

方程 $x^2=9$ 问的是“哪些实数的平方等于 $9$”，所以需要寻找全部符合条件的 $x$，答案才是：

根号表示一个确定的非负数，方程则在寻找所有满足关系的未知数。对象不同，答案中是否出现 $\pm$ 也不同。

2. 二次根式的成立条件

在实数范围内，任何实数的平方都不会小于 $0$。如果 $A<0$，就找不到一个实数，使它的平方等于 $A$。因此二次根式：

有意义的条件是：

例如 $\sqrt{x-2}$ 要求：

也就是 $x\ge2$。

这条限制针对偶次根。奇次根可以处理负数，例如：

因为 $(-2)^3=-8$。本节主要研究二次根式，奇次根只用来帮助分清边界。

3. 平方因子的提取

如果一个非负数本身是另一个非负数的平方，就可以直接开方：

如果被开方数不能完全开方，就要看其中是否含有完全平方因子。对于 $\sqrt{72}$，先识别其中的完全平方因子。

$36$、$2$ 都非负，所以可以使用：

这不是把 $6$ 从根号里“搬出来”，而是识别出 $36=6^2$，再让算术平方根还原这个非负的平方结构。

4. 字母平方与绝对值

数字 $6$ 已经确定非负，所以 $\sqrt{6^2}=6$。字母 $a$ 的符号却不确定。

绝对值不是额外附加的符号，而是算术平方根非负性的直接结果。

再看 $\sqrt{18(x-1)^2}$，其中同时含有数字平方和字母平方。

只有已经知道 $x-1\ge0$，也就是 $x\ge1$ 时，才能把 $|x-1|$ 继续写成 $x-1$。如果不知道 $x$ 的范围，就必须保留绝对值。

5. 根号外因子的移入

当 $k\ge0$、$a\ge0$ 时：

例如：

如果根号外的因子是负数，负号不能一起移进二次根号。例如：

左边是负数，右边却是非负数，它们不可能相等。正确写法是让负号继续留在根号外：

这仍然是非负性在控制变形边界。

6. 最简二次根式

在本章讨论的整数和整式范围内，一个二次根式化到最简，至少应满足：

1. 被开方数中不再含有能够开得尽方的因数或因式；
2. 被开方数中不含分母；
3. 从字母平方中开出的结果已经根据符号写成绝对值或确定的正负形式。

例如：

$5$ 不再含大于 $1$ 的平方因子，所以 $2\sqrt5$ 已经化简。

而：

还可以继续写成：

至于 $\sqrt{\dfrac12}$，它的被开方数仍含分母。怎样利用根式除法和等值变形处理这种形式，将在后面的“分母有理化”中继续说明。

实际化简时，先确认被开方数非负，再寻找能够开得尽方的因数或因式，把确定的平方结构开到根号外。遇到字母平方时，要根据符号写成绝对值或确定的正负形式。最后还要检查根号内是否仍含平方因子或分母，并保留原式产生的全部条件。

根式化简不是把符号机械地移出根号，而是在非负性控制下识别并还原平方结构。$\sqrt{a^2}=|a|$ 正是这条原则最重要的体现。

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