分式的四则运算

两个原分母分别含有 $y$ 和 $x^2$，因此原式要求 $x\ne0$、$y\ne0$。

$x\ne0$、$y\ne0$ 共同保证两个原分式都有意义，后续约分只能在这个范围内进行。

相乘后把分子、分母看成因式乘积，约去非零的共同因子，得到 $\dfrac{2y}{3x}$。

完整结果要同时写出化简形式 $\dfrac{2y}{3x}$ 和原分母产生的条件 $x\ne0$、$y\ne0$。乘法中先观察因子再约分，更容易看清结构。

两个原分母分别是 $x-1$ 和 $x+1$，因此原式要求 $x\ne1$ 且 $x\ne-1$。

这两个条件保证原式有意义。两个分母没有共同因式，最简公分母可以取 $(x-1)(x+1)$。

通分时，分母乘了什么，整个分子也必须乘同一个因子。这样做本质上是在乘一个等于 $1$ 的分式，因此没有改变原分式的值。

这个混合式同时含有同分母减法和分式除法。开始计算前，要先记录各分母非零以及除式不为 $0$ 的条件。

括号内两个分式的分母都是 $x-1$，所以它们共同要求 $x\ne1$。

除式 $\dfrac{x+1}{x}$ 的分母要求 $x\ne0$；除式本身还不能等于 $0$，所以它的分子还需满足 $x+1\ne0$。

由 $x+1\ne0$ 得到 $x\ne-1$。把它与 $x\ne0$、$x\ne1$ 合并，原式的全部条件是 $x\ne-1,0,1$。

括号内是同分母减法，合并分子后得到 $\dfrac{x-1}{x-1}=1$。这一变形仍以 $x\ne1$ 为前提。

除以 $\dfrac{x+1}{x}$ 等于乘它的倒数 $\dfrac{x}{x+1}$，因此化简形式为 $\dfrac{x}{x+1}$。

大分数线表示一次除法。处理时先分别整理上方和下方，同时记录 $x\ne0$、$y\ne0$ 以及大分数线下方不为 $0$ 的条件。

前两个条件保证小分式有意义，最后一个条件等价于 $x\ne y$。在这些条件下，可以分别通分大分数线的上方和下方。

通分后，大分数线的上方为 $\dfrac{x+y}{xy}$，下方为 $\dfrac{y-x}{xy}$，接下来可以把整个繁分式改写为一次除法。

把大分数线改写为除法后，约去共同的非零因子 $xy$，繁分式化为 $\dfrac{x+y}{y-x}$。约分不会删除原式条件。

完整结论仍需保留 $x\ne0$、$y\ne0$、$x\ne y$。繁分式没有新的运算法则，它只是把通分、除法和条件检查叠在同一个表达式中。