根式的四则运算

1. 根式的乘法

下面两种写法看起来只换了一个运算符：

乘法可以按照乘积结构合并被开方数，加法则只能按照同类项结构合并系数。把两种结构分开，才能避免把乘法规则错误地用到加法中。

根式没有一条适用于所有运算的万能规则。乘除依靠乘积和商的结构，加减依靠同类项的结构。开始计算前，必须先看清运算符号和根式形式。

例如：

根号外的系数仍按普通乘法处理：

公式的条件不能省略。在实数范围内，如果某个被开方数为负，相应的二次根式本身就没有意义，也就不能使用这条乘法规则。

2. 根式的除法

当 $a\ge0$、$b>0$ 时：

$b>0$ 同时保证两件事：$\sqrt b$ 有意义，而且 $\sqrt b\ne0$，可以作为分母。

例如：

如果只有 $b\ge0$，那么 $b=0$ 仍有可能出现。此时 $\sqrt b=0$，除法没有意义，所以除法条件必须收紧为 $b>0$。

3. 根式的加减

普通代数中：

这里合并的是相同字母项前面的系数。根式加减使用同样的结构：只有化简后根指数相同、被开方数也相同的根式，才能合并系数。

这样的根式称为同类二次根式。例如：

一般地：

被开方数不同的根式，不能直接合并：

已经是最简形式。把它写成 $\sqrt5$ 会改变数值。取平方就能看见差别：

所以：

乘法可以合并被开方数，是因为平方根的乘积结构成立；加法没有这样的结构，不能照搬乘法规则。

4. 加减前的根式化简

5. 根式与代数运算律

根式表示实数，所以仍然遵守分配律：

也可以进入已经学过的乘法公式。例如：

平方差公式没有改变，变化的只是公式中的对象从字母或整数变成了根式。

需要注意的是，使用公式前仍要把根式看成完整的整体。不能因为根号中出现加减，就擅自把它拆开。

6. 根式的混合运算

看：

分母 $\sqrt2$ 非零，所以原式有意义。分子是根式加法，先分别化简：

再进行除法：

这个过程没有把加法错误地放进同一个根号，而是先按同类根式结构合并，再按根式除法处理。

如果根式中含有字母，开始前还要先写出每个被开方数非负以及每个分母非零的条件。运算可以改变式子的外形，原式条件仍要保留。

需要带走的判断是：根式运算没有一条万能规则。乘除依靠乘积和商的结构，加减依靠同类项结构；运算符号和表达式形式共同决定下一步应该怎样做。

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