1. 乘以 $1$ 的等值变形
看下面这个分式：
关键不是背诵“上下同乘根号”，而是找到一个等于 $1$ 的分式。分子、分母同时乘同一个非零式子，整个分式的值不变；选择什么式子，则由分母的结构决定。
这个分式的分母含有根号。有理化的目标是在保持分式值不变的前提下，把分母改写成不含根号的形式。
因为 $\sqrt3\ne0$，分子、分母又是同一个数，所以 $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=1$。
原式乘以等于 $1$ 的 $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}$ 后，分母中的 $\sqrt3\cdot\sqrt3$ 变成 $3$，于是得到 $\dfrac{\sqrt3}{3}$。分式的值没有改变，分母也不再含根号。
分母有理化的本质是：选择一个合适的非零式子，使分母经过乘法后变成不含根号的式子，同时让整个分式只乘以 $1$。
2. 单个根式分母
对于 $B>0$，$\sqrt B$ 有意义且非零，因此：
这里乘 $\sqrt B$ 是因为：
例如：
现在被开方数中不再含分母，最终分母中也没有根号。
如果分母是 $k\sqrt B$，其中 $k\ne0$、$B>0$，通常只需乘以 $\sqrt B$，不必机械地把整个分母再乘一次。
3. 两项和差与共轭式
如果分母是 $\sqrt5-2$，只乘 $\sqrt5$ 并不能消去整个分母中的根号。这里需要利用平方差公式：
$u-v$ 与 $u+v$ 是一对共轭式。展开乘积时，$uv$ 与 $-uv$ 相互抵消，因此只剩 $u^2-v^2$。
分母是 $\sqrt5-2$，选择共轭式 $\sqrt5+2$，就能把两者的乘积化为平方差 $5-4$。
由于 $\sqrt5+2>0$，分子、分母相同且都不为零，所以这个分式等于 $1$。
原式乘以等于 $1$ 的共轭分式后，分母按平方差化为 $(\sqrt5)^2-2^2=5-4=1$，因此结果只剩 $\sqrt5+2$。
同样地：
共轭式不是一个孤立技巧，它只是平方差公式在根式分母中的使用。
4. 所乘式的非零条件
分子、分母同乘一个式子时，这个式子必须非零，否则得到的不是乘以 $1$。
例如，分母是：
它形式上是两项和，但对应的“共轭式” $\sqrt2-\sqrt2$ 等于 $0$，不能用：
因为这是 $\dfrac00$，不是 $1$。
正确做法是先合并同类根式：
再按单个根式分母处理：
这说明“看到两项就乘共轭”并不是可靠方法。必须先化简并判断结构，再确认所乘的式子非零。
5. 含字母分母的原式条件
看：
原式首先要求根式有意义：
整个分母还不能为 $0$：
也就是：
在这些条件下，共轭式 $\sqrt x+1$ 始终大于 $0$，可以作为非零乘数：
有理化以后，新的分母 $x-1$ 仍能排除 $x=1$。即使某些变形使原来的限制不再明显，也必须把原式条件保留下来。
回到开头的问题
分母有理化是在非零条件下乘以一个等于 $1$ 的分式。单个根式分母通常乘相应根式，两项和差根据平方差选择非零共轭式；分母结构决定乘什么，非零条件保证分式的值不变。