\(x+1\ge0\)
平方前的符号
先确认根式有意义，再确认另一边非负
看方程 \(\sqrt{x+1}=x-1\)。被开方数必须非负，同时左边的算术平方根一定非负，因此右边也必须非负。
\(x-1\ge0\)
\(x\ge1\)
这一步不仅检查根式能否出现，还保留了原方程两边的符号关系。
两边平方
根式已经孤立，平方后继续解整式方程
\[\sqrt{x+1}=x-1\]
根式已经单独位于等号一边。
\[x+1=(x-1)^2\]
两边平方，根号被去掉。
\[x+1=x^2-2x+1\]
展开右边的完全平方。
\[x^2-3x=0\]
移项并合并同类项。
\[x(x-3)=0\]
因式分解，得到 \(x=0\) 或 \(x=3\)。
这两个值来自平方后的方程，还不能直接作为原方程的解。
回到原方程
检查条件，再代回原式
它不满足 \(x\ge1\)。代回原方程时，左边是 \(1\)，右边是 \(-1\)，两边不相等。
它满足 \(x\ge1\)，并且 \(\sqrt{3+1}=3-1=2\)。
因此原方程的解是 \(x=3\)。像 \(x=0\) 这样，满足平方后的方程、却不满足原方程的值，叫做增根。
增根来源
平方会把正负差别隐藏起来
如果 \(a=b\)，一定有 \(a^2=b^2\)。反过来却不一定，因为 \(a^2=b^2\) 还可能来自 \(a=-b\)。
\(a=b\Longrightarrow a^2=b^2\)
只有已经确定 \(a\ge0\)、\(b\ge0\)，才有 \(a=b\Longleftrightarrow a^2=b^2\)。
例如 \(1^2=(-1)^2\)，但 \(1\ne-1\)。这正是平方后必须检查所得值的原因。
处理顺序
把条件与平方过程放在同一条链上
1
写出原式的根式条件。
2
孤立一个根式，并检查等号另一边非负。
3
两边平方，解所得方程。
4
检查原式条件，再代回原方程排除增根。
本页只处理一次平方就能继续求解的基本根式方程。