\(x<a\Longleftrightarrow x-a<0\)
一次因式
零点把一个一次因式分成左负右正
先看 \(x-a\)。零点是 \(x=a\)：在 \(a\) 左边，\(x-a<0\)；在 \(a\) 右边，\(x-a>0\)。
\(x=a\Longleftrightarrow x-a=0\)
\(x>a\Longleftrightarrow x-a>0\)
“一次因式的正负”就是在数轴上判断 \(x-a\) 什么时候为负、为零或为正。
零点分区
同一区间内没有因式经过零点，符号就不会改变
对于 \((x-1)(x-2)(x-3)\)，三个零点 \(1,2,3\) 把数轴分成四段：
\[(-\infty,1),\quad(1,2),\quad(2,3),\quad(3,+\infty)\]
在同一个区间内，每个因式的符号都保持不变，因此整个乘积的符号也保持不变。每个区间只需判断一次。
符号分区
把每个因式的符号相乘
先看下方的四个区间。零点只负责切分数轴；区间内的正负号来自三个因式的符号乘积。
图像对应
曲线在横轴上方，就表示乘积大于 \(0\)
把 \(y=(x-1)(x-2)(x-3)\) 画出来，曲线每经过一个一次零点都会穿过横轴。青绿色区域对应 \(y>0\)，淡紫色区域对应 \(y<0\)。
| \(x\) 的范围 | \(x-1\) | \(x-2\) | \(x-3\) | 乘积 |
|---|---|---|---|---|
| \(x<1\) | 负 | 负 | 负 | 负 |
| \(1<x<2\) | 正 | 负 | 负 | 正 |
| \(2<x<3\) | 正 | 正 | 负 | 负 |
| \(x>3\) | 正 | 正 | 正 | 正 |
因此 \((x-1)(x-2)(x-3)>0\) 的解是 \(1<x<2\) 或 \(x>3\)。如果要求小于零，就选择另外两个负号区间。
零点处乘积等于零。只有不等号带有等号时，才把相应零点加入解集。
穿针引线
每经过一个一次零点，恰好有一个因式变号
最右边 \(x>3\) 时，三个因式都为正。从右向左经过 \(3\)、\(2\)、\(1\) 时，分别只有一个一次因式改变符号，所以整个乘积也依次变号。
\[x>3:\quad +\]
三个因式都为正，从正号开始。
\[\text{经过 }3:\quad +\to-\]
只有 \(x-3\) 变号。
\[\text{经过 }2:\quad -\to+\]
只有 \(x-2\) 变号。
\[\text{经过 }1:\quad +\to-\]
只有 \(x-1\) 变号。
把零点按顺序标在数轴上，让符号依次穿过这些零点，就是穿针引线法。它是因式变号的结果，不是需要单独背诵的口诀。
二次特例
一元二次不等式是两个一次因式的乘积
\[x^2-4x+3>0\]
先把所有内容放在零的一边。
\[(x-1)(x-3)>0\]
因式分解后，零点是 \(1\) 和 \(3\)。
\[+,\quad-,\quad+\]
三个区间从左到右依次为正、负、正。
\[x<1\quad\text{或}\quad x>3\]
选择乘积大于零的两个区间。
二次特例
开口向上的曲线，在两个零点外侧位于横轴上方
\(y=(x-1)(x-3)\) 在 \(x=1,3\) 处穿过横轴，因此大于 \(0\) 的部分落在两个零点外侧。
能够分解成两个一次因式时，一元二次不等式不需要另一套符号方法。
系数与重因式
最右端看系数，经过零点看次数奇偶
对于 \(a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\)，最右边所有一次因式都为正，因此起始符号由 \(a\) 决定。
最右边从正号开始。
最右边从负号开始。
仍由不等号是否带有等号决定。
重复因式还会改变“是否变号”的判断。经过奇数次因式的零点，乘积变号；经过偶数次因式的零点，乘积不变号。
例如 \((x-a)^1\) 或 \((x-a)^3\)：经过 \(a\) 时变号。
例如 \((x-a)^2\)：两个相同因式同时变号，整个乘积不变号。
奇数次：穿过零点
示例：\(y=x-a\)
经过 \(a\) 后，曲线从横轴一侧穿到另一侧，乘积变号。
偶数次：碰到零点后返回
示例：\(y=(x-a)^2\)
曲线只在 \(a\) 处接触横轴，左右仍在同一侧，乘积不变号。
处理顺序
把因式分解、零点和符号连成一条线
1
移项，使另一边为零，再把多项式因式分解。
2
找出所有零点，并按从小到大排列。
3
判断最右边区间的符号；经过奇数次零点变号，经过偶数次零点不变号。
4
选择题目要求的正号或负号区间，并根据不等号决定是否包含零点。
本页现在处理能够在实数范围内分解成一次因式的二次、三次和含重复因式的乘积。