\(x-1>0\)，直接乘以它时方向不变。
原分母条件
分母含未知数，先标出不能进入的值
看不等式 \(\dfrac{x+3}{x-1}>0\)。原分母不能为零，所以先写：
原分母条件：\(x\ne1\)
无论后面怎样通分、约分或去分母，这个限制都来自原式，不能消失。
分母平方
分母符号不确定，分母平方却确定为正
\(x-1<0\)，直接乘以它时方向要改变。
无法提前决定不等号方向，所以不能直接乘以 \(x-1\)。
但在 \(x\ne1\) 的范围内，\((x-1)^2>0\)。现在可以两边同时乘以这个正数，方向保持不变。
\[\frac{x+3}{x-1}>0\]
原分母条件是 \(x\ne1\)。
\[\frac{x+3}{x-1}(x-1)^2>0\cdot(x-1)^2\]
乘以确定为正的分母平方，不等号方向不变。
\[(x+3)(x-1)>0\]
商的符号已经转化为乘积的符号。
等价理由
正的分母平方让变形能够双向恢复
在 \(x\ne1\) 下，\((x-1)^2\) 是正数。原不等式乘以它可以得到乘积不等式，乘积不等式再除以它也能回到原不等式。
\[\frac{x+3}{x-1}>0\quad\Longleftrightarrow\quad(x+3)(x-1)>0\]
零点 \(-3\) 和 \(1\) 把数轴分成三段，乘积在两端为正。因此解是 \(x<-3\) 或 \(x>1\)。
\(x=-3\) 时分式等于零，不满足严格大于零；\(x=1\) 时原分式没有意义。
四类符号
严格不等式自动排除零，带等号时要单写分母条件
设 \(B(x)\ne0\)。因为 \(B^2(x)>0\)，四种关系可以统一转成乘积符号：
\[\frac{A(x)}{B(x)}>0\quad\Longleftrightarrow\quad A(x)B(x)>0\]
\[\frac{A(x)}{B(x)}<0\quad\Longleftrightarrow\quad A(x)B(x)<0\]
\[\frac{A(x)}{B(x)}\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}A(x)B(x)\ge0,\\B(x)\ne0,\end{cases}\]
\[\frac{A(x)}{B(x)}\le0\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}A(x)B(x)\le0,\\B(x)\ne0.\end{cases}\]
严格大于或小于零时，右边的乘积不可能等于零，已经能够排除 \(B(x)=0\)。带等号时，\(A(x)B(x)=0\) 可能来自分母为零，所以必须明确保留 \(B(x)\ne0\)。
移项通分
一边不是零，先把问题整理成商与零比较
解 \(\dfrac{2}{x+1}\le1\) 时，先写 \(x\ne-1\)，再移项、通分和乘以分母平方。
\[\frac{2}{x+1}\le1,\qquad x\ne-1\]
先保留原分母条件。
\[\frac{2}{x+1}-1\le0\]
把所有项移到左边，使右边为零。
\[\frac{1-x}{x+1}\le0\]
通分并整理分子。
\[\begin{cases}(1-x)(x+1)\le0,\\x\ne-1\end{cases}\]
乘以正数 \((x+1)^2\)，同时保留原分母条件。
\[(-\infty,-1)\cup[1,+\infty)\]
分子零点 \(1\) 可以保留；分母禁点 \(-1\) 必须排除。
约分与禁点
式子外形变简单，原来的空点仍然存在
对于 \(\dfrac{x^2-1}{x-1}>0\)，原式先要求 \(x\ne1\)。在这个范围内可以约分：
\[\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\]
约分只在 \(x\ne1\) 的范围内成立。
\[x+1>0\quad\Longrightarrow\quad x>-1\]
先解约分后的不等式。
\[(-1,1)\cup(1,+\infty)\]
最后仍要排除原分母禁点 \(x=1\)。
处理顺序
从禁点出发，以禁点检查结束
1
写出所有原分母不为零的条件。
2
移项并通分，使另一边为零，再分解分子和分母。
3
乘以分母平方，把商的符号转化为乘积的符号。
4
用零点划分区间，决定分子零点是否包含，并始终排除原分母禁点。
分式不等式不是不判断符号就直接去分母，而是利用确定为正的分母平方完成等价转化。