函数的单调性与单调区间

用两个输入刻画变化方向

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，区间 $D\subseteq I$。如果对任意 $x_1,x_2\in D$，只要 $x_1<x_2$，都有

那么函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递增。这里 $x_2$ 比 $x_1$ 大，$f(x_2)$ 也一定比 $f(x_1)$ 大。

如果对任意 $x_1,x_2\in D$，只要 $x_1<x_2$，都有

那么函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递减。这里 $x_2$ 比 $x_1$ 大，$f(x_2)$ 却一定比 $f(x_1)$ 小。

“任意”要求区间内每一对满足 $x_1<x_2$ 的数都符合相应的大小关系。只比较一两组数，不能说明其余的数也符合，所以不能据此判定单调性。

同一个函数在不同区间可以有不同趋势

以 $f(x)=x^2$ 为例。先在 $[0,+\infty)$ 内任取两个数，使 $0\le x_1<x_2$。比较两个函数值，可以先作差，再用平方差公式分解：

因为 $x_2-x_1>0$，并且 $x_2+x_1>0$，两个正数的积为正，所以 $f(x_2)>f(x_1)$。

这个比较对区间内任意一对这样的数都成立。因此，$f(x)=x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增。

再在 $(-\infty,0]$ 内任取两个数，使 $x_1<x_2\le 0$。同样先作差，再用平方差公式分解：

这里 $x_1-x_2<0$，而 $x_1+x_2<0$。两个负数的积为正，所以 $f(x_1)>f(x_2)$。

这个比较也对区间内任意一对这样的数成立。因此，$f(x)=x^2$ 在 $(-\infty,0]$ 上单调递减。

$x^2$ 在零点左侧递减，在右侧递增。可见，同一个函数在不同区间内，增减情况可以不同。说一个函数递增或递减时，必须说明在哪个区间。

看 $y=x^2$ 的图象：从左向右，零点左侧下降，右侧上升，分别对应刚才证明的两个结论。

什么是单调区间

如果函数在区间 $D$ 上单调递增或单调递减，就说它在这个区间上具有单调性，$D$ 叫作函数的单调区间。

单调区间说明函数在哪一段递增或递减，不一定是整个定义域。例如，$x^2$ 的定义域是全体实数，但它在零点两侧的增减情况不同，要分别讨论。

在单调递增区间内，图象从左向右上升；在单调递减区间内，图象从左向右下降。可以先看图象，猜测单调区间。要证明这个判断，还得说明区间内任意两个数所对应的函数值都符合定义。

分开的区间不能随意合并

函数 $f(x)=\dfrac1x$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上都单调递减。在其中任一区间内任取 $x_1<x_2$，两个数要么都小于 $0$，要么都大于 $0$。它们同号，所以 $x_1x_2>0$。

把两个数代入函数式，作差后通分：

分子 $x_2-x_1$ 与分母 $x_1x_2$ 都为正，商也为正，因此 $f(x_1)>f(x_2)$。只要两个数取自同一侧的区间，这个推理就成立，所以函数在这两个区间内分别递减。

但不能因此说它在整个定义域 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上单调递减。此时还要比较分别取自两侧的数。

例如取 $x_1=-1<x_2=1$，就有

这里 $-1$ 比 $1$ 小，对应的函数值也更小。这与单调递减要求的 $f(x_1)>f(x_2)$ 相反。

函数在零点两侧仍各自递减。问题是，这次取的两个数分居零点两侧，而 $0$ 不在定义域中。两侧分别成立的结论，不能直接用于跨过零点的比较。单调区间本身必须是区间，不能把分开的区间用并集符号拼成一个单调区间。

看 $y=\dfrac1x$ 的图象：两支各自向右下降，但左侧的点 $(-1,-1)$ 比右侧的点 $(1,1)$ 低。这正好说明刚才的反例。

判断时真正要检查什么