指数函数
$$y=3^x$$
底数 $3$ 固定，指数 $x$ 变化。自变量在指数位置，底数也满足定义条件，所以它是指数函数。
指数函数
什么是指数函数
固定底数，让指数随自变量变化，这是指数函数的基本结构。
一般地，函数
$$f(x)=a^x\qquad(a>0,\ a\ne1)$$
叫作指数函数，它的定义域是 $\mathbb R$。
式中的 $a$ 是固定的常数，$x$ 是自变量。当 $x$ 取不同实数时，实数指数幂 $a^x$ 给出唯一的函数值。底数在同一个函数中保持不变，变化的是指数。
这一定义说的是最基本的形式 $y=a^x$。例如，下面两个函数都符合这个形式：
$y=2^x$
$y=\left(\frac13\right)^x$
它们的底数分别是 $2$ 和 $\frac13$，都大于零且不等于 $1$。两者虽然变化方向不同，却都属于指数函数。图象和变化性质留到下一篇研究。
正底数
为什么底数必须大于零
定义域是 $\mathbb R$，就要求 $a^x$ 对每一个实数 $x$ 都有统一的实数意义。底数为零或负数时，这个要求无法满足。
若 $a=0$，取负指数 $x=-1$，按负指数取倒数的规则，就会要求计算
$$0^{-1}=\frac10.$$
分母为零，除法没有意义，因此 $0^{-1}$ 也没有意义。仅这一个实数输入，就使对应关系无法在全体实数上成立。
若 $a<0$，取 $x=\frac12$，二分之一次幂就需要负数的平方根，在实数范围内没有值。因此，负底数也不能覆盖所有实数指数。
要求 $a>0$，是为了保证每个 $x\in\mathbb R$ 都有且只有一个 $a^x$ 与它对应。正底数的实数指数幂已经保证这一点，才能由此得到定义域为 $\mathbb R$ 的函数。
排除底数 1
为什么还要排除 $a=1$
底数 $1$ 是正数，它的实数指数幂有意义。但指数函数的定义还要排除这个特殊情况。
若 $a=1$，那么对任意实数 $x$，都有
$$1^x=1.$$
无论指数怎样改变，输出始终是 $1$。所以，$y=1^x$ 当然仍是一个函数，只不过它是常值函数。
常值函数不能表现“指数改变带来函数值变化”这一类函数的共同结构。因此，教材在指数函数的定义中排除 $a=1$。
实数指数幂允许底数为 $1$，指数函数的定义排除底数为 $1$。这里是在区分函数类别，并不是说 $1^x$ 没有意义或不能构成函数。
底数与指数
不要把底数和指数的位置看反
确认底数条件后，还要看自变量在哪里。$3^x$ 与 $x^3$ 都含有幂，但底数和指数的角色正好相反。
幂函数
$$y=x^3$$
底数随 $x$ 变化，指数 $3$ 固定。自变量在底数位置，所以它是幂函数，不是指数函数。
判断时要看清固定的是底数还是指数，不能只看式子中有没有幂。
核心结论
固定满足 $a>0$ 且 $a\ne1$ 的底数，让实数自变量出现在指数位置，所得 $y=a^x$ 才是这里所说的指数函数。它的定义域是 $\mathbb R$。
底数固定、指数变化，还要满足底数大于零且不等于 $1$。