对数的运算与换底公式

积的对数为什么变成和

先把两个正数写成同底数的幂，再看它们相乘时，指数发生了什么变化。

设 $a>0$ 且 $a\ne1$，并且 $M>0$、$N>0$。把两个对数分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$：

根据对数的定义，$\alpha$ 是底数 $a$ 得到 $M$ 所需的指数，$\beta$ 是底数 $a$ 得到 $N$ 所需的指数。因此

把这两个指数式代入积 $MN$：

两个幂的底数相同，相乘时指数相加，所以

这说明 $MN$ 是 $a$ 的 $\alpha+\beta$ 次幂。再按对数的定义改写：

把 $\alpha$ 和 $\beta$ 换回原来的两个对数，得到积的对数性质：

积的对数等于各因数对数的和。这个“和”来自同底数幂相乘时的指数相加，并不是一条孤立的口诀。

商与幂的运算性质

相同的思路也能解释商与幂。仍设 $a>0$ 且 $a\ne1$，$M>0$、$N>0$，并沿用 $\alpha=\log_aM$、$\beta=\log_aN$。

商：同底数幂相除，指数相减

由 $M=a^\alpha$、$N=a^\beta$，先把商写成两个幂相除：

同底数幂相除，底数不变，指数相减：

因此，$\frac MN$ 是 $a$ 的 $\alpha-\beta$ 次幂。改写成对数式，得到

把两个指数换回各自的对数：

商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。条件 $N>0$ 也同时保证了除数不为 $0$。

幂：幂再乘方，指数相乘

再取任意实数 $r$。因为 $M>0$，实数幂 $M^r$ 有意义且为正。把 $M=a^\alpha$ 代入：

使用幂的乘方性质，两个指数相乘：

这说明 $M^r$ 是 $a$ 的 $r\alpha$ 次幂。改写成对数式：

再把 $\alpha$ 换成 $\log_aM$，就得到

真数的指数可以移到对数前成为倍数，前提仍是底数合法、真数 $M>0$。

把三条推导中的结构对应起来：真数怎样运算，决定了指数怎样运算。

从真数的运算看对应的指数

真数	写成 $a$ 的幂	以 $a$ 为底的对数
$MN$相乘	$a^{\alpha+\beta}$	$\alpha+\beta$指数相加
$\dfrac MN$相除	$a^{\alpha-\beta}$	$\alpha-\beta$指数相减
$M^r$乘方	$a^{r\alpha}$	$r\alpha$指数相乘

这里 $\alpha=\log_aM$、$\beta=\log_aN$。右列写出的就是每个真数对应的指数，因而也是它以 $a$ 为底的对数。三条性质都来自指数运算。

换底公式从哪里来

有了幂的对数性质，就能把一个对数换成另一个底数来计算。

设原底数 $a>0$ 且 $a\ne1$，真数 $b>0$；另选新底数 $c>0$ 且 $c\ne1$。先把原对数记为 $x$：

根据对数的定义，把它写成指数式：

等式两边都是正数，可以同取以 $c$ 为底的对数：

利用幂的对数性质，把左边真数的指数 $x$ 移到对数前：

因为 $a\ne1$，所以 $\log_ca\ne0$。两边可以同除以 $\log_ca$，得到

最后代回 $x=\log_ab$，得到换底公式：

新底数 $c$ 可以是任意合法底数。取 $c=10$ 或 $c=e$，就能分别用常用对数或自然对数计算其他底数的对数。

公式不能怎样拆

前面的运算性质对应乘法、除法和乘方，不包括加法与减法。不能看到括号，就把真数中的每一项分别取对数。

例如，先在真数中相加，再取常用对数，得到

如果把两个 $1$ 分别取常用对数，再相加，因为 $\lg1=0$，得到的却是

$\lg2$ 与 $0$ 并不相等，所以这两个计算过程不能互相替换。

$\log_a(M-N)$ 也不能按差拆开。即使 $M$、$N$ 都为正，$M-N$ 还可能不是正数，此时原式甚至没有意义。

顺着结构完成一次计算

计算 $\log_2\dfrac{8\sqrt2}{4}$ 时，先检查条件：底数 $2>0$ 且不等于 $1$，$8$、$\sqrt2$ 和 $4$ 都为正，可以使用积、商和幂的性质。

先用商的对数性质，把分母对应的对数减去：

再用积的对数性质，把分子中的两个因数分别取对数、相加：

由 $8=2^3$、$\sqrt2=2^{1/2}$、$4=2^2$，三个对数分别是 $3$、$\frac12$、$2$。其中根式先写成二分之一次幂，再取对数。代入得到

最后计算加减，$3-2=1$，再加上 $\frac12$：